ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcaucvglemf GIF version

Theorem axcaucvglemf 7908
Description: Lemma for axcaucvg 7912. Mapping to N and R yields a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n 𝑁 = ∩ {π‘₯ ∣ (1 ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦 + 1) ∈ π‘₯)}
axcaucvg.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
axcaucvg.cau (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑁 (𝑛 <ℝ π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›) <ℝ ((πΉβ€˜π‘˜) + (β„©π‘Ÿ ∈ ℝ (𝑛 Β· π‘Ÿ) = 1)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) <ℝ ((πΉβ€˜π‘›) + (β„©π‘Ÿ ∈ ℝ (𝑛 Β· π‘Ÿ) = 1)))))
axcaucvg.g 𝐺 = (𝑗 ∈ N ↦ (℩𝑧 ∈ R (πΉβ€˜βŸ¨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q }, {𝑒 ∣ [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q <Q 𝑒}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = βŸ¨π‘§, 0R⟩))
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemf (πœ‘ β†’ 𝐺:N⟢R)
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑗   𝑧,𝐹   𝑗,𝑙,𝑒,𝑧   𝑦,𝑙,𝑒   π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑙)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑙)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑙)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑙)

Proof of Theorem axcaucvglemf
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . 3 𝑁 = ∩ {π‘₯ ∣ (1 ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦 + 1) ∈ π‘₯)}
2 axcaucvg.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
31, 2axcaucvglemcl 7907 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ N) β†’ (℩𝑧 ∈ R (πΉβ€˜βŸ¨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q }, {𝑒 ∣ [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q <Q 𝑒}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = βŸ¨π‘§, 0R⟩) ∈ R)
4 axcaucvg.g . 2 𝐺 = (𝑗 ∈ N ↦ (℩𝑧 ∈ R (πΉβ€˜βŸ¨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q }, {𝑒 ∣ [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q <Q 𝑒}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = βŸ¨π‘§, 0R⟩))
53, 4fmptd 5683 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:N⟢R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  {cab 2173  βˆ€wral 2465  βŸ¨cop 3607  βˆ© cint 3856   class class class wbr 4015   ↦ cmpt 4076  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  β„©crio 5843  (class class class)co 5888  1oc1o 6423  [cec 6546  Ncnpi 7284   ~Q ceq 7291   <Q cltq 7297  1Pc1p 7304   +P cpp 7305   ~R cer 7308  Rcnr 7309  0Rc0r 7310  β„cr 7823  1c1 7825   + caddc 7827   <ℝ cltrr 7828   Β· cmul 7829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-0nq0 7438  df-plq0 7439  df-mq0 7440  df-inp 7478  df-i1p 7479  df-iplp 7480  df-enr 7738  df-nr 7739  df-plr 7740  df-0r 7743  df-1r 7744  df-c 7830  df-1 7832  df-r 7834  df-add 7835
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  7910  axcaucvglemres  7911
  Copyright terms: Public domain W3C validator