Theorem axcaucvglemf 8227

Description: Lemma for axcaucvg 8231. Mapping to N and R yields a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcaucvg.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
axcaucvg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑁⟶ℝ)
axcaucvg.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑛 <ℝ 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <ℝ ((𝐹‘𝑘) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹‘𝑘) <ℝ ((𝐹‘𝑛) + (℩𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
axcaucvg.g	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ N ↦ (℩𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))

Assertion

Ref	Expression
axcaucvglemf	⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑗   𝑧,𝐹   𝑗,𝑙,𝑢,𝑧   𝑦,𝑙,𝑢   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑘,𝑛,𝑟,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑢,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑙)

Proof of Theorem axcaucvglemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcaucvg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2		axcaucvg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑁⟶ℝ)
3	1, 2	axcaucvglemcl 8226	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ N) → (℩𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩) ∈ R)
4		axcaucvg.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ N ↦ (℩𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝑗, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩))
5	3, 4	fmptd 5836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cab 2220  ∀wral 2522  ⟨cop 3697  ∩ cint 3954   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  ℩crio 6010  (class class class)co 6058  1_oc1o 6653  [cec 6778  Ncnpi 7603   ~_Q ceq 7610   <_Q cltq 7616  1_Pc1p 7623   +_P cpp 7624   ~_R cer 7627  Rcnr 7628  0_Rc0r 7629  ℝcr 8142  1c1 8144   + caddc 8146   <_ℝ cltrr 8147   · cmul 8148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-0r 8062  df-1r 8063  df-c 8149  df-1 8151  df-r 8153  df-add 8154

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  8229  axcaucvglemres  8230