ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcaucvglemf GIF version

Theorem axcaucvglemf 7914
Description: Lemma for axcaucvg 7918. Mapping to N and R yields a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n 𝑁 = ∩ {π‘₯ ∣ (1 ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦 + 1) ∈ π‘₯)}
axcaucvg.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
axcaucvg.cau (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑁 (𝑛 <ℝ π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›) <ℝ ((πΉβ€˜π‘˜) + (β„©π‘Ÿ ∈ ℝ (𝑛 Β· π‘Ÿ) = 1)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) <ℝ ((πΉβ€˜π‘›) + (β„©π‘Ÿ ∈ ℝ (𝑛 Β· π‘Ÿ) = 1)))))
axcaucvg.g 𝐺 = (𝑗 ∈ N ↦ (℩𝑧 ∈ R (πΉβ€˜βŸ¨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q }, {𝑒 ∣ [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q <Q 𝑒}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = βŸ¨π‘§, 0R⟩))
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemf (πœ‘ β†’ 𝐺:N⟢R)
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑗   𝑧,𝐹   𝑗,𝑙,𝑒,𝑧   𝑦,𝑙,𝑒   π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑙)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑙)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑙)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑙)

Proof of Theorem axcaucvglemf
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . 3 𝑁 = ∩ {π‘₯ ∣ (1 ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (𝑦 + 1) ∈ π‘₯)}
2 axcaucvg.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
31, 2axcaucvglemcl 7913 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ N) β†’ (℩𝑧 ∈ R (πΉβ€˜βŸ¨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q }, {𝑒 ∣ [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q <Q 𝑒}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = βŸ¨π‘§, 0R⟩) ∈ R)
4 axcaucvg.g . 2 𝐺 = (𝑗 ∈ N ↦ (℩𝑧 ∈ R (πΉβ€˜βŸ¨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q }, {𝑒 ∣ [βŸ¨π‘—, 1o⟩] ~Q <Q 𝑒}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = βŸ¨π‘§, 0R⟩))
53, 4fmptd 5686 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:N⟢R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {cab 2175  βˆ€wral 2468  βŸ¨cop 3610  βˆ© cint 3859   class class class wbr 4018   ↦ cmpt 4079  βŸΆwf 5227  β€˜cfv 5231  β„©crio 5846  (class class class)co 5891  1oc1o 6428  [cec 6551  Ncnpi 7290   ~Q ceq 7297   <Q cltq 7303  1Pc1p 7310   +P cpp 7311   ~R cer 7314  Rcnr 7315  0Rc0r 7316  β„cr 7829  1c1 7831   + caddc 7833   <ℝ cltrr 7834   Β· cmul 7835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7322  df-pli 7323  df-mi 7324  df-lti 7325  df-plpq 7362  df-mpq 7363  df-enq 7365  df-nqqs 7366  df-plqqs 7367  df-mqqs 7368  df-1nqqs 7369  df-rq 7370  df-ltnqqs 7371  df-enq0 7442  df-nq0 7443  df-0nq0 7444  df-plq0 7445  df-mq0 7446  df-inp 7484  df-i1p 7485  df-iplp 7486  df-enr 7744  df-nr 7745  df-plr 7746  df-0r 7749  df-1r 7750  df-c 7836  df-1 7838  df-r 7840  df-add 7841
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  7916  axcaucvglemres  7917
  Copyright terms: Public domain W3C validator