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Theorem axcaucvglemres 8230
Description: Lemma for axcaucvg 8231. Mapping the limit from N. and R.. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
axcaucvg.f |- ( ph -> F : N --> RR )
axcaucvg.cau |- ( ph -> A. n e. N A. k e. N ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g |- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemres |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   k, F, j, n   y, F, j, k   z, F, j   k, G, x, l, u   n, G, l, u, z   k, N, j, n   y, N, x   ph, k, x   j, l, u, y   ph, j, x   k, r, l, n, u   z, l, u   ph, n   x, y   j, n, z, k   x, l, u
Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, r, l)   F( x, u, r, l)   G( y, j, r)   N( z, u, r, l)
Proof of Theorem axcaucvglemres
Dummy variables b e f g a c d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . . 4 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2 axcaucvg.f . . . 4 |- ( ph -> F : N --> RR )
3 axcaucvg.cau . . . 4 |- ( ph -> A. n e. N A. k e. N ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
4 axcaucvg.g . . . 4 |- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )
51, 2, 3, 4axcaucvglemf 8227 . . 3 |- ( ph -> G : N. --> R. )
61, 2, 3, 4axcaucvglemcau 8229 . . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( G ` n ) <R ( ( G ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( G ` k ) <R ( ( G ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
75, 6caucvgsr 8133 . 2 |- ( ph -> E. b e. R. A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
8 opelreal 8158 . . . . 5 |- ( <. b , 0R >. e. RR <-> b e. R. )
98biimpri 133 . . . 4 |- ( b e. R. -> <. b , 0R >. e. RR )
109ad2antrl 490 . . 3 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) ) -> <. b , 0R >. e. RR )
11 breq2 4118 . . . . . . . . . 10 |- ( d = k -> ( c <N d <-> c <N k ) )
12 fveq2 5675 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d = k -> ( G ` d ) = ( G ` k ) )
1312breq1d 4124 . . . . . . . . . . 11 |- ( d = k -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) <-> ( G ` k ) <R ( b +R a ) ) )
1412oveq1d 6073 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d = k -> ( ( G ` d ) +R a ) = ( ( G ` k ) +R a ) )
1514breq2d 4126 . . . . . . . . . . 11 |- ( d = k -> ( b <R ( ( G ` d ) +R a ) <-> b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) )
1613, 15anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( d = k -> ( ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) <-> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) )
1711, 16imbi12d 234 . . . . . . . . 9 |- ( d = k -> ( ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
1817cbvralv 2780 . . . . . . . 8 |- ( A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) )
1918rexbii 2551 . . . . . . 7 |- ( E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) )
2019imbi2i 226 . . . . . 6 |- ( ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) <-> ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
2120ralbii 2550 . . . . 5 |- ( A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) <-> A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
2221anbi2i 457 . . . 4 |- ( ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) <-> ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) )
23 elreal 8159 . . . . . . . . 9 |- ( x e. RR <-> E. e e. R. <. e , 0R >. = x )
2423biimpi 120 . . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> E. e e. R. <. e , 0R >. = x )
2524ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) -> E. e e. R. <. e , 0R >. = x )
26 simplrr 538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) )
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) )
28 simprr 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> <. e , 0R >. = x )
29 simplr 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> 0 <RR x )
30 breq2 4118 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. e , 0R >. = x -> ( 0 <RR <. e , 0R >. <-> 0 <RR x ) )
31 df-0 8150 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 = <. 0R , 0R >.
3231breq1i 4121 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 <RR <. e , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. e , 0R >. )
33 ltresr 8170 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. e , 0R >. <-> 0R <R e )
3432, 33bitri 184 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 <RR <. e , 0R >. <-> 0R <R e )
3530, 34bitr3di 195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( <. e , 0R >. = x -> ( 0 <RR x <-> 0R <R e ) )
3635biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. e , 0R >. = x /\ 0 <RR x ) -> 0R <R e )
3728, 29, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> 0R <R e )
38 breq2 4118 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = e -> ( 0R <R a <-> 0R <R e ) )
39 oveq2 6066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = e -> ( b +R a ) = ( b +R e ) )
4039breq2d 4126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = e -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) <-> ( G ` d ) <R ( b +R e ) ) )
41 oveq2 6066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = e -> ( ( G ` d ) +R a ) = ( ( G ` d ) +R e ) )
4241breq2d 4126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = e -> ( b <R ( ( G ` d ) +R a ) <-> b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) )
4340, 42anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = e -> ( ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) <-> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
4443imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = e -> ( ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
4544rexralbidv 2570 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = e -> ( E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
4638, 45imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = e -> ( ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) <-> ( 0R <R e -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) )
4746rspcv 2919 . . . . . . . . . . 11 |- ( e e. R. -> ( A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) -> ( 0R <R e -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) )
4847ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> ( A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) -> ( 0R <R e -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) )
4927, 37, 48mp2d 47 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
50 breq1 4117 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = f -> ( c <N d <-> f <N d ) )
5150imbi1d 231 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = f -> ( ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
5251ralbidv 2544 . . . . . . . . . 10 |- ( c = f -> ( A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
5352cbvrexv 2781 . . . . . . . . 9 |- ( E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> E. f e. N. A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
5449, 53sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> E. f e. N. A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
55 pitonn 8179 . . . . . . . . . . 11 |- ( f e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
5655, 1eleqtrrdi 2328 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N )
5756ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N )
581nntopi 8225 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. N -> E. g e. N. <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k )
5958adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> E. g e. N. <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k )
60 breq2 4118 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = g -> ( f <N d <-> f <N g ) )
61 fveq2 5675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = g -> ( G ` d ) = ( G ` g ) )
6261breq1d 4124 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = g -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) <-> ( G ` g ) <R ( b +R e ) ) )
6361oveq1d 6073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = g -> ( ( G ` d ) +R e ) = ( ( G ` g ) +R e ) )
6463breq2d 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = g -> ( b <R ( ( G ` d ) +R e ) <-> b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) )
6562, 64anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = g -> ( ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) <-> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) )
6660, 65imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = g -> ( ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> ( f <N g -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) ) )
67 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
6867adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
69 simprl 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> g e. N. )
7066, 68, 69rspcdva 2928 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( f <N g -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) )
71 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> f e. N. )
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> f e. N. )
73 ltrennb 8185 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f <N g <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
7472, 69, 73syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( f <N g <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
75 simprr 533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k )
7675breq2d 4126 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k ) )
7774, 76bitrd 188 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( f <N g <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k ) )
78 ltresr 8170 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( G ` g ) , 0R >. <RR <. ( b +R e ) , 0R >. <-> ( G ` g ) <R ( b +R e ) )
79 simplll 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) -> ph )
8079ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ph )
811, 2, 3, 4axcaucvglemval 8228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ g e. N. ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. ( G ` g ) , 0R >. )
8280, 69, 81syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. ( G ` g ) , 0R >. )
8375fveq2d 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = ( F ` k ) )
8482, 83eqtr3d 2269 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. ( G ` g ) , 0R >. = ( F ` k ) )
85 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> b e. R. )
8685ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> b e. R. )
87 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> e e. R. )
8887ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> e e. R. )
89 addresr 8168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. R. /\ e e. R. ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( b +R e ) , 0R >. )
9086, 88, 89syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( b +R e ) , 0R >. )
9128oveq2d 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = ( <. b , 0R >. + x ) )
9291ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = ( <. b , 0R >. + x ) )
9390, 92eqtr3d 2269 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. ( b +R e ) , 0R >. = ( <. b , 0R >. + x ) )
9484, 93breq12d 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. <RR <. ( b +R e ) , 0R >. <-> ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) ) )
9578, 94bitr3id 194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) <-> ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) ) )
96 ltresr 8170 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. b , 0R >. <RR <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. <-> b <R ( ( G ` g ) +R e ) )
9780, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> G : N. --> R. )
9897, 69ffvelcdmd 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( G ` g ) e. R. )
99 addresr 8168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G ` g ) e. R. /\ e e. R. ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. )
10098, 88, 99syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. )
10128ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. e , 0R >. = x )
10284, 101oveq12d 6076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. + <. e , 0R >. ) = ( ( F ` k ) + x ) )
103100, 102eqtr3d 2269 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. = ( ( F ` k ) + x ) )
104103breq2d 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. b , 0R >. <RR <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. <-> <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
10596, 104bitr3id 194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( b <R ( ( G ` g ) +R e ) <-> <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
10695, 105anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) <-> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
10770, 77, 1063imtr3d 202 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
10859, 107rexlimddv 2667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
109108ralrimiva 2617 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> A. k e. N ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
110 breq1 4117 . . . . . . . . . . . 12 |- ( j = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> ( j <RR k <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k ) )
111110imbi1d 231 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> ( ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
112111ralbidv 2544 . . . . . . . . . 10 |- ( j = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> ( A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. k e. N ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
113112rspcev 2923 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N /\ A. k e. N ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
11457, 109, 113syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
11554, 114rexlimddv 2667 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
11625, 115rexlimddv 2667 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
117116ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
118117ralrimiva 2617 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) -> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
11922, 118sylan2br 288 . . 3 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) ) -> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
120 oveq1 6065 . . . . . . . . . 10 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( y + x ) = ( <. b , 0R >. + x ) )
121120breq2d 4126 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) <-> ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) ) )
122 breq1 4117 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( y <RR ( ( F ` k ) + x ) <-> <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
123121, 122anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
124123imbi2d 230 . . . . . . 7 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
125124rexralbidv 2570 . . . . . 6 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
126125imbi2d 230 . . . . 5 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) )
127126ralbidv 2544 . . . 4 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) )
128127rspcev 2923 . . 3 |- ( ( <. b , 0R >. e. RR /\ A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
12910, 119, 128syl2anc 411 . 2 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
1307, 129rexlimddv 2667 1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   E.wrex 2523   <.cop 3697   |^|cint 3954   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   -->wf 5353   ` cfv 5357   iota_crio 6010  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   [cec 6778   N.cnpi 7603   <N clti 7606   ~Q ceq 7610   <Q cltq 7616   1Pc1p 7623   +P. cpp 7624   ~R cer 7627   R.cnr 7628   0Rc0r 7629   +R cplr 7632   <R cltr 7634   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   <RR cltrr 8147   x. cmul 8148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-imp 7800  df-iltp 7801  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-mr 8060  df-ltr 8061  df-0r 8062  df-1r 8063  df-m1r 8064  df-c 8149  df-0 8150  df-1 8151  df-r 8153  df-add 8154  df-mul 8155  df-lt 8156
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