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Theorem axcaucvglemres 7873
Description: Lemma for axcaucvg 7874. Mapping the limit from  N. and  R.. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
axcaucvg.f  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
axcaucvg.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  A. k  e.  N  ( n  <RR  k  -> 
( ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemres  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F, j, n    y, F, j, k    z, F, j   
k, G, x, l, u    n, G, l, u, z    k, N, j, n    y, N, x    ph, k, x    j,
l, u, y    ph, j, x    k, r, l, n, u    z, l, u    ph, n    x, y    j, n, z, k    x, l, u
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, r, l)    F( x, u, r, l)    G( y, j, r)    N( z, u, r, l)

Proof of Theorem axcaucvglemres
Dummy variables  b  e  f  g  a  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . . 4  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
2 axcaucvg.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
3 axcaucvg.cau . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  A. k  e.  N  ( n  <RR  k  -> 
( ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
4 axcaucvg.g . . . 4  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
51, 2, 3, 4axcaucvglemf 7870 . . 3  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
61, 2, 3, 4axcaucvglemcau 7872 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( G `  n
)  <R  ( ( G `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( G `  k )  <R  (
( G `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
75, 6caucvgsr 7776 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  R.  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( c  <N 
k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) ) )
8 opelreal 7801 . . . . 5  |-  ( <.
b ,  0R >.  e.  RR  <->  b  e.  R. )
98biimpri 133 . . . 4  |-  ( b  e.  R.  ->  <. b ,  0R >.  e.  RR )
109ad2antrl 490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  <. b ,  0R >.  e.  RR )
11 breq2 4002 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  k  ->  (
c  <N  d  <->  c  <N  k ) )
12 fveq2 5507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  k  ->  ( G `  d )  =  ( G `  k ) )
1312breq1d 4008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  k  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  <->  ( G `  k )  <R  (
b  +R  a ) ) )
1412oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  k  ->  (
( G `  d
)  +R  a )  =  ( ( G `
 k )  +R  a ) )
1514breq2d 4010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  k  ->  (
b  <R  ( ( G `
 d )  +R  a )  <->  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) )
1613, 15anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  k  ->  (
( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) )  <->  ( ( G `
 k )  <R 
( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) )
1711, 16imbi12d 234 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  k  ->  (
( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) ) )  <->  ( c  <N  k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) ) )
1817cbvralv 2701 . . . . . . . 8  |-  ( A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) )  <->  A. k  e.  N.  ( c  <N 
k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) )
1918rexbii 2482 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) )  <->  E. c  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( c  <N 
k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) )
2019imbi2i 226 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  <-> 
( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) )
2120ralbii 2481 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) )  <->  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) )
2221anbi2i 457 . . . 4  |-  ( ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) )  <-> 
( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )
23 elreal 7802 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  <->  E. e  e.  R.  <. e ,  0R >.  =  x )
2423biimpi 120 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  E. e  e.  R.  <. e ,  0R >.  =  x )
2524ad2antlr 489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  ->  E. e  e.  R.  <. e ,  0R >.  =  x )
26 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) )
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) )
28 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  <. e ,  0R >.  =  x )
29 simplr 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  -> 
0  <RR  x )
30 breq2 4002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
e ,  0R >.  =  x  ->  ( 0 
<RR  <. e ,  0R >.  <->  0  <RR  x ) )
31 df-0 7793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
3231breq1i 4005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 
<RR  <. e ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. e ,  0R >. )
33 ltresr 7813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. e ,  0R >.  <->  0R  <R  e )
3432, 33bitri 184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 
<RR  <. e ,  0R >.  <-> 
0R  <R  e )
3530, 34bitr3di 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
e ,  0R >.  =  x  ->  ( 0 
<RR  x  <->  0R  <R  e ) )
3635biimpa 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. e ,  0R >.  =  x  /\  0  <RR  x )  ->  0R  <R  e )
3728, 29, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  0R  <R  e )
38 breq2 4002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  ( 0R  <R  a  <->  0R  <R  e ) )
39 oveq2 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  e  ->  (
b  +R  a )  =  ( b  +R  e ) )
4039breq2d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  e  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  <->  ( G `  d )  <R  (
b  +R  e ) ) )
41 oveq2 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  e  ->  (
( G `  d
)  +R  a )  =  ( ( G `
 d )  +R  e ) )
4241breq2d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  e  ->  (
b  <R  ( ( G `
 d )  +R  a )  <->  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) )
4340, 42anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) )  <->  ( ( G `
 d )  <R 
( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
4443imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  e  ->  (
( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) ) )  <->  ( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
4544rexralbidv 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  ( E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) )  <->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
4638, 45imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  e  ->  (
( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  <-> 
( 0R  <R  e  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) ) ) )
4746rspcv 2835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  R.  ->  ( A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  ->  ( 0R  <R  e  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) ) ) )
4847ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  -> 
( A. a  e. 
R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  ->  ( 0R  <R  e  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) ) ) )
4927, 37, 48mp2d 47 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) )
50 breq1 4001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  f  ->  (
c  <N  d  <->  f  <N  d ) )
5150imbi1d 231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  f  ->  (
( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  <->  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
5251ralbidv 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  f  ->  ( A. d  e.  N.  ( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  <->  A. d  e.  N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
5352cbvrexv 2702 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) )  <->  E. f  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
5449, 53sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  E. f  e.  N.  A. d  e.  N.  (
f  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) )
55 pitonn 7822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
5655, 1eleqtrrdi 2269 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
5756ad2antrl 490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
581nntopi 7868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  N  ->  E. g  e.  N.  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k )
5958adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  E. g  e.  N.  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k )
60 breq2 4002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  g  ->  (
f  <N  d  <->  f  <N  g ) )
61 fveq2 5507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  g  ->  ( G `  d )  =  ( G `  g ) )
6261breq1d 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  g  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  <->  ( G `  g )  <R  (
b  +R  e ) ) )
6361oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  g  ->  (
( G `  d
)  +R  e )  =  ( ( G `
 g )  +R  e ) )
6463breq2d 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  g  ->  (
b  <R  ( ( G `
 d )  +R  e )  <->  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) )
6562, 64anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  g  ->  (
( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) )  <->  ( ( G `
 g )  <R 
( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) ) )
6660, 65imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  g  ->  (
( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  <->  ( f  <N  g  ->  ( ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) ) ) )
67 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. d  e.  N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
6867adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  A. d  e.  N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
69 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  g  e.  N. )
7066, 68, 69rspcdva 2844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( f  <N  g  ->  ( ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) ) )
71 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  f  e.  N. )
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  f  e.  N. )
73 ltrennb 7828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  <N  g  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
7472, 69, 73syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( f  <N  g  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
75 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k )
7675breq2d 4010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. 
<-> 
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k ) )
7774, 76bitrd 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( f  <N  g  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k ) )
78 ltresr 7813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( G `  g
) ,  0R >.  <RR  <. ( b  +R  e
) ,  0R >.  <->  ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
) )
79 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  ->  ph )
8079ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ph )
811, 2, 3, 4axcaucvglemval 7871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  g  e.  N. )  ->  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  g ) ,  0R >. )
8280, 69, 81syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  g ) ,  0R >. )
8375fveq2d 5511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  ( F `  k ) )
8482, 83eqtr3d 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. ( G `
 g ) ,  0R >.  =  ( F `  k )
)
85 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  b  e.  R. )
8685ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  b  e.  R. )
87 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  e  e.  R. )
8887ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  e  e.  R. )
89 addresr 7811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  R.  /\  e  e.  R. )  ->  ( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. (
b  +R  e ) ,  0R >. )
9086, 88, 89syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. ( b  +R  e ) ,  0R >. )
9128oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  -> 
( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  ( <.
b ,  0R >.  +  x ) )
9291ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  ( <. b ,  0R >.  +  x
) )
9390, 92eqtr3d 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. ( b  +R  e ) ,  0R >.  =  ( <. b ,  0R >.  +  x ) )
9484, 93breq12d 4011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  <RR  <. (
b  +R  e ) ,  0R >.  <->  ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x ) ) )
9578, 94bitr3id 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
)  <->  ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x ) ) )
96 ltresr 7813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
b ,  0R >.  <RR  <. ( ( G `  g )  +R  e
) ,  0R >.  <->  b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
) )
9780, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  G : N.
--> R. )
9897, 69ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( G `  g )  e.  R. )
99 addresr 7811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  g
)  e.  R.  /\  e  e.  R. )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. (
( G `  g
)  +R  e ) ,  0R >. )
10098, 88, 99syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. ( ( G `
 g )  +R  e ) ,  0R >. )
10128ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. e ,  0R >.  =  x
)
10284, 101oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  ( ( F `
 k )  +  x ) )
103100, 102eqtr3d 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. ( ( G `  g )  +R  e ) ,  0R >.  =  (
( F `  k
)  +  x ) )
104103breq2d 4010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. b ,  0R >.  <RR  <. (
( G `  g
)  +R  e ) ,  0R >.  <->  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )
10596, 104bitr3id 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
)  <->  <. b ,  0R >. 
<RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
10695, 105anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( (
( G `  g
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
) )  <->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
10770, 77, 1063imtr3d 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
10859, 107rexlimddv 2597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
109108ralrimiva 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  N  ( <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
110 breq1 4001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  ->  ( j  <RR  k  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k ) )
111110imbi1d 231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  ->  ( (
j  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  ( <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
112111ralbidv 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  ->  ( A. k  e.  N  (
j  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  A. k  e.  N  ( <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
113112rspcev 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N  /\  A. k  e.  N  (
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
11457, 109, 113syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
11554, 114rexlimddv 2597 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
11625, 115rexlimddv 2597 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
117116ex 115 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
118117ralrimiva 2548 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
11922, 118sylan2br 288 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
120 oveq1 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( y  +  x )  =  (
<. b ,  0R >.  +  x ) )
121120breq2d 4010 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  <-> 
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
) ) )
122 breq1 4001 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x )  <->  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
123121, 122anbi12d 473 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) )  <->  ( ( F `
 k )  <RR  (
<. b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
124123imbi2d 230 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( j 
<RR  k  ->  ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  <->  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
125124rexralbidv 2501 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  <->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
126125imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( 0 
<RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )  <->  ( 0 
<RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) ) )
127126ralbidv 2475 . . . 4  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) )  <->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) ) )
128127rspcev 2839 . . 3  |-  ( (
<. b ,  0R >.  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
12910, 119, 128syl2anc 411 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) ) )
1307, 129rexlimddv 2597 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2146   {cab 2161   A.wral 2453   E.wrex 2454   <.cop 3592   |^|cint 3840   class class class wbr 3998    |-> cmpt 4059   -->wf 5204   ` cfv 5208   iota_crio 5820  (class class class)co 5865   1oc1o 6400   [cec 6523   N.cnpi 7246    <N clti 7249    ~Q ceq 7253    <Q cltq 7259   1Pc1p 7266    +P. cpp 7267    ~R cer 7270   R.cnr 7271   0Rc0r 7272    +R cplr 7275    <R cltr 7277   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787    + caddc 7789    <RR cltrr 7790    x. cmul 7791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-eprel 4283  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-pli 7279  df-mi 7280  df-lti 7281  df-plpq 7318  df-mpq 7319  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-plqqs 7323  df-mqqs 7324  df-1nqqs 7325  df-rq 7326  df-ltnqqs 7327  df-enq0 7398  df-nq0 7399  df-0nq0 7400  df-plq0 7401  df-mq0 7402  df-inp 7440  df-i1p 7441  df-iplp 7442  df-imp 7443  df-iltp 7444  df-enr 7700  df-nr 7701  df-plr 7702  df-mr 7703  df-ltr 7704  df-0r 7705  df-1r 7706  df-m1r 7707  df-c 7792  df-0 7793  df-1 7794  df-r 7796  df-add 7797  df-mul 7798  df-lt 7799
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