ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcaucvglemval Unicode version

Theorem axcaucvglemval 7422
Description: Lemma for axcaucvg 7425. Value of sequence when mapping to  N. and  R.. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
axcaucvg.f  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
axcaucvg.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  A. k  e.  N  ( n  <RR  k  -> 
( ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemval  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >. )
Distinct variable groups:    j, F, z   
z, G    j, J, l, u, z    ph, j    y, l, u    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, u, k, n, r, l)    F( x, y, u, k, n, r, l)    G( x, y, u, j, k, n, r, l)    J( x, y, k, n, r)    N( x, y, z, u, j, k, n, r, l)

Proof of Theorem axcaucvglemval
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.g . . . . 5  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
21a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
) )
3 opeq1 3620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  <. j ,  1o >.  =  <. J ,  1o >. )
43eceq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )
54breq2d 3855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
l  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <->  l  <Q  [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  ) )
65abbidv 2205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  { l  |  l  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  }  =  { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  }
)
74breq1d 3853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  ( [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u  <->  [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u )
)
87abbidv 2205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u }  =  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } )
96, 8opeq12d 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  <. { l  |  l  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  =  <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. )
109oveq1d 5659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  =  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) )
1110opeq1d 3626 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. )
1211eceq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1312opeq1d 3626 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
1413fveq2d 5303 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
1514eqeq1d 2096 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
( F `  <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >.  <->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
1615riotabidv 5602 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( iota_ z  e. 
R.  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
1716adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  N. )  /\  j  =  J )  ->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( iota_ z  e. 
R.  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
18 simpr 108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  J  e. 
N. )
19 axcaucvg.n . . . . 5  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
20 axcaucvg.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
2119, 20axcaucvglemcl 7420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  e.  R. )
222, 17, 18, 21fvmptd 5379 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( G `
 J )  =  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
2322eqcomd 2093 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( G `  J ) )
2422, 21eqeltrd 2164 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( G `
 J )  e. 
R. )
2520adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  F : N
--> RR )
26 pitonn 7375 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
2726, 19syl6eleqr 2181 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
2827adantl 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
2925, 28ffvelrnd 5429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  e.  RR )
30 elrealeu 7357 . . . . 5  |-  ( ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  e.  RR  <->  E! z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
3129, 30sylib 120 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  E! z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
32 eqcom 2090 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  ( F `  <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  <->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
3332reubii 2552 . . . 4  |-  ( E! z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  <->  E! z  e.  R.  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
3431, 33sylib 120 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  E! z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
35 opeq1 3620 . . . . 5  |-  ( z  =  ( G `  J )  ->  <. z ,  0R >.  =  <. ( G `  J ) ,  0R >. )
3635eqeq2d 2099 . . . 4  |-  ( z  =  ( G `  J )  ->  (
( F `  <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >.  <->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >. )
)
3736riota2 5622 . . 3  |-  ( ( ( G `  J
)  e.  R.  /\  E! z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  ->  ( ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >.  <->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( G `  J ) ) )
3824, 34, 37syl2anc 403 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >.  <->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )  =  ( G `  J ) ) )
3923, 38mpbird 165 1  |-  ( (
ph  /\  J  e.  N. )  ->  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  J ) ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E!wreu 2361   <.cop 3447   |^|cint 3686   class class class wbr 3843    |-> cmpt 3897   -->wf 5006   ` cfv 5010   iota_crio 5599  (class class class)co 5644   1oc1o 6166   [cec 6280   N.cnpi 6821    ~Q ceq 6828    <Q cltq 6834   1Pc1p 6841    +P. cpp 6842    ~R cer 6845   R.cnr 6846   0Rc0r 6847   RRcr 7339   1c1 7341    + caddc 7343    <RR cltrr 7344    x. cmul 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-eprel 4114  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-1o 6173  df-2o 6174  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288  df-ni 6853  df-pli 6854  df-mi 6855  df-lti 6856  df-plpq 6893  df-mpq 6894  df-enq 6896  df-nqqs 6897  df-plqqs 6898  df-mqqs 6899  df-1nqqs 6900  df-rq 6901  df-ltnqqs 6902  df-enq0 6973  df-nq0 6974  df-0nq0 6975  df-plq0 6976  df-mq0 6977  df-inp 7015  df-i1p 7016  df-iplp 7017  df-enr 7262  df-nr 7263  df-plr 7264  df-0r 7267  df-1r 7268  df-c 7346  df-1 7348  df-r 7350  df-add 7351
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  7423  axcaucvglemres  7424
  Copyright terms: Public domain W3C validator