Theorem bc0k 10777

Description: The binomial coefficient " 0 choose K " is 0 for a positive integer K. Note that ( 0 _C 0 ) = 1 (see bcn0 10776). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bc0k	|- ( K e. NN -> ( 0 _C K ) = 0 )

Proof of Theorem bc0k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9226	. . 3 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 9	. 2 |- ( K e. NN -> 0 e. NN0 )
3		nnz 9307	. 2 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
4		nngt0 8979	. . 3 |- ( K e. NN -> 0 < K )
5	4	olcd 735	. 2 |- ( K e. NN -> ( K < 0 \/ 0 < K ) )
6		bcval4 10773	. 2 |- ( ( 0 e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ 0 < K ) ) -> ( 0 _C K ) = 0 )
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1249	1 |- ( K e. NN -> ( 0 _C K ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900   0cc0 7846   < clt 8027   NNcn 8954   NN0cn0 9211   ZZcz 9288   _C cbc 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-q 9656  df-fz 10045  df-seqfrec 10485  df-fac 10747  df-bc 10769

This theorem is referenced by: (None)