Theorem bc0k 10707

Description: The binomial coefficient " 0 choose K " is 0 for a positive integer K. Note that ( 0 _C 0 ) = 1 (see bcn0 10706). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bc0k	|- ( K e. NN -> ( 0 _C K ) = 0 )

Proof of Theorem bc0k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9167	. . 3 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 9	. 2 |- ( K e. NN -> 0 e. NN0 )
3		nnz 9248	. 2 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
4		nngt0 8920	. . 3 |- ( K e. NN -> 0 < K )
5	4	olcd 734	. 2 |- ( K e. NN -> ( K < 0 \/ 0 < K ) )
6		bcval4 10703	. 2 |- ( ( 0 e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ 0 < K ) ) -> ( 0 _C K ) = 0 )
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1238	1 |- ( K e. NN -> ( 0 _C K ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   0cc0 7789   < clt 7969   NNcn 8895   NN0cn0 9152   ZZcz 9229   _C cbc 10698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-fz 9983  df-seqfrec 10419  df-fac 10677  df-bc 10699

This theorem is referenced by: (None)