Theorem bcval4 10823

Description: Value of the binomial coefficient, N choose K, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval4	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> ( N _C K ) = 0 )

Proof of Theorem bcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 10093	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
2		0re 8019	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
3		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
4	3	zred 9439	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
5		lenlt 8095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> -. K < 0 ) )
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ K <-> -. K < 0 ) )
7	1, 6	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> -. K < 0 )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. K < 0 )
9		elfzle2 10094	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K <_ N )
11		nn0re 9249	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
12		lenlt 8095	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
13	4, 11, 12	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
14	10, 13	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. N < K )
15		ioran 753	. . . . . . 7 |- ( -. ( K < 0 \/ N < K ) <-> ( -. K < 0 /\ -. N < K ) )
16	8, 14, 15	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) )
17	16	ex 115	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) ) )
19	18	con2d 625	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K < 0 \/ N < K ) -> -. K e. ( 0 ... N ) ) )
20	19	3impia 1202	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
21		bcval3 10822	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
22	20, 21	syld3an3 1294	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> ( N _C K ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   < clt 8054   <_ cle 8055   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ...cfz 10074   _C cbc 10818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-fac 10797  df-bc 10819

This theorem is referenced by:  bc0k  10827  bcn1  10829  bcpasc  10837