ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcval4 Unicode version

Theorem bcval4 10767
Description: Value of the binomial coefficient,  N choose  K, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  -> 
( N  _C  K
)  =  0 )

Proof of Theorem bcval4
StepHypRef Expression
1 elfzle1 10059 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
2 0re 7988 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3 elfzelz 10057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
43zred 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  RR )
5 lenlt 8064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
62, 4, 5sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
71, 6mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  K  <  0 )
87adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  K  <  0 )
9 elfzle2 10060 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
109adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  <_  N
)
11 nn0re 9216 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
12 lenlt 8064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <_  N  <->  -.  N  <  K ) )
134, 11, 12syl2anr 290 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  <_  N 
<->  -.  N  <  K
) )
1410, 13mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  N  <  K )
15 ioran 753 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( K  <  0  \/  N  <  K )  <-> 
( -.  K  <  0  /\  -.  N  <  K ) )
168, 14, 15sylanbrc 417 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  < 
K ) )
1716ex 115 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  <  K ) ) )
1817adantr 276 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  < 
K ) ) )
1918con2d 625 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <  0  \/  N  < 
K )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) ) )
20193impia 1202 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  ->  -.  K  e.  (
0 ... N ) )
21 bcval3 10766 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
2220, 21syld3an3 1294 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  -> 
( N  _C  K
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842    < clt 8023    <_ cle 8024   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ...cfz 10040    _C cbc 10762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-fz 10041  df-seqfrec 10479  df-fac 10741  df-bc 10763
This theorem is referenced by:  bc0k  10771  bcn1  10773  bcpasc  10781
  Copyright terms: Public domain W3C validator