Theorem bcval4 10654

Description: Value of the binomial coefficient, N choose K, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval4	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> ( N _C K ) = 0 )

Proof of Theorem bcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 9952	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
2		0re 7890	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
3		elfzelz 9951	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
4	3	zred 9304	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
5		lenlt 7965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> -. K < 0 ) )
6	2, 4, 5	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ K <-> -. K < 0 ) )
7	1, 6	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> -. K < 0 )
8	7	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. K < 0 )
9		elfzle2 9953	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
10	9	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K <_ N )
11		nn0re 9114	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
12		lenlt 7965	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
13	4, 11, 12	syl2anr 288	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
14	10, 13	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. N < K )
15		ioran 742	. . . . . . 7 |- ( -. ( K < 0 \/ N < K ) <-> ( -. K < 0 /\ -. N < K ) )
16	8, 14, 15	sylanbrc 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) )
17	16	ex 114	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) ) )
18	17	adantr 274	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) ) )
19	18	con2d 614	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K < 0 \/ N < K ) -> -. K e. ( 0 ... N ) ) )
20	19	3impia 1189	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
21		bcval3 10653	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
22	20, 21	syld3an3 1272	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> ( N _C K ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   RRcr 7743   0cc0 7744   < clt 7924   <_ cle 7925   NN0cn0 9105   ZZcz 9182   ...cfz 9935   _C cbc 10649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-fz 9936  df-seqfrec 10371  df-fac 10628  df-bc 10650

This theorem is referenced by:  bc0k  10658  bcn1  10660  bcpasc  10668