Theorem bcval4 10767

Description: Value of the binomial coefficient, N choose K, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval4	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> ( N _C K ) = 0 )

Proof of Theorem bcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 10059	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ K )
2		0re 7988	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
3		elfzelz 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
4	3	zred 9406	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
5		lenlt 8064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ K <-> -. K < 0 ) )
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ K <-> -. K < 0 ) )
7	1, 6	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> -. K < 0 )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. K < 0 )
9		elfzle2 10060	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K <_ N )
11		nn0re 9216	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
12		lenlt 8064	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
13	4, 11, 12	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
14	10, 13	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. N < K )
15		ioran 753	. . . . . . 7 |- ( -. ( K < 0 \/ N < K ) <-> ( -. K < 0 /\ -. N < K ) )
16	8, 14, 15	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) )
17	16	ex 115	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) -> -. ( K < 0 \/ N < K ) ) )
19	18	con2d 625	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K < 0 \/ N < K ) -> -. K e. ( 0 ... N ) ) )
20	19	3impia 1202	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
21		bcval3 10766	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
22	20, 21	syld3an3 1294	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ ( K < 0 \/ N < K ) ) -> ( N _C K ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   < clt 8023   <_ cle 8024   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ...cfz 10040   _C cbc 10762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-fz 10041  df-seqfrec 10479  df-fac 10741  df-bc 10763

This theorem is referenced by:  bc0k  10771  bcn1  10773  bcpasc  10781