Theorem cnfldmul 14037

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	|- x. = ( .r ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulex 9708	. 2 |- x. e. _V
2		cnfldstr 14033	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
3		mulrslid 12739	. . 3 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
4		snsstp3 3770	. . . 4 |- { <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. }
5		ssun1 3322	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
6		df-icnfld 14032	. . . . 5 |- ℂfld = ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
7	5, 6	sseqtrri 3214	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ℂfld
8	4, 7	sstri 3188	. . 3 |- { <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ℂfld
9	2, 3, 8	strslfv 12653	. 2 |- ( x. e. _V -> x. = ( .r ` ℂfld ) )
10	1, 9	ax-mp 5	1 |- x. = ( .r ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3151   {csn 3618   {ctp 3620   <.cop 3621   ` cfv 5246   CCcc 7860   1c1 7863   + caddc 7865   x. cmul 7867   3c3 9024  ;cdc 9438   *ccj 10973   ndxcnx 12605   Basecbs 12608   +g cplusg 12685   .rcmulr 12686   *rcstv 12687  ℂ_fldccnfld 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-addf 7984  ax-mulf 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-9 9038  df-n0 9231  df-z 9308  df-dec 9439  df-uz 9583  df-fz 10065  df-cj 10976  df-struct 12610  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-starv 12700  df-icnfld 14032

This theorem is referenced by:  cncrng  14039  cnfld1  14042  cnfldexp  14047  cnsubrglem  14050  zringmulr  14065