Theorem cncrng 14582

Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncrng	|- ℂfld e. CRing

Proof of Theorem cncrng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 14573	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
3		cnfldadd 14575	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> + = ( +g ` ℂfld ) )
5		cnfldmul 14577	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℂfld )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> x. = ( .r ` ℂfld ) )
7		addcl 8156	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
8		addass 8161	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) + z ) = ( x + ( y + z ) ) )
9		0cn 8170	. . . . 5 |- 0 e. CC
10		addlid 8317	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( 0 + x ) = x )
11		negcl 8378	. . . . 5 |- ( x e. CC -> -u x e. CC )
12		addcom 8315	. . . . . . 7 |- ( ( -u x e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
13	11, 12	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
14		negid 8425	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( x + -u x ) = 0 )
15	13, 14	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = 0 )
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15	isgrpi 13606	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
17	16	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℂfld e. Grp )
18		mulcl 8158	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
19	18	3adant1 1041	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
20		mulass 8162	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
21	20	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
22		adddi 8163	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
23	22	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
24		adddir 8169	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
25	24	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
26		1cnd 8194	. . 3 |- ( T. -> 1 e. CC )
27		mullid 8176	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( 1 x. x ) = x )
28	27	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 x. x ) = x )
29		mulrid 8175	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( x x. 1 ) = x )
30	29	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( x x. 1 ) = x )
31		mulcom 8160	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
32	31	3adant1 1041	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
33	2, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32	iscrngd 14054	. 2 |- ( T. -> ℂfld e. CRing )
34	33	mptru 1406	1 |- ℂfld e. CRing

Syntax hints:   /\ w3a 1004   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   -ucneg 8350   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160   Grpcgrp 13582   CRingccrg 14009  ℂ_fldccnfld 14569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-rp 9888  df-fz 10243  df-cj 11402  df-abs 11559  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174  df-tset 13178  df-ple 13179  df-ds 13181  df-unif 13182  df-0g 13340  df-topgen 13342  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-ring 14010  df-cring 14011  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-fg 14562  df-metu 14563  df-cnfld 14570

This theorem is referenced by:  cnring  14583  cnfldui  14602  zringcrng  14605  zring0  14613