Theorem cncrng 14203

Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncrng	|- ℂfld e. CRing

Proof of Theorem cncrng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 14194	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
3		cnfldadd 14196	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> + = ( +g ` ℂfld ) )
5		cnfldmul 14198	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℂfld )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> x. = ( .r ` ℂfld ) )
7		addcl 8023	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
8		addass 8028	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) + z ) = ( x + ( y + z ) ) )
9		0cn 8037	. . . . 5 |- 0 e. CC
10		addlid 8184	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( 0 + x ) = x )
11		negcl 8245	. . . . 5 |- ( x e. CC -> -u x e. CC )
12		addcom 8182	. . . . . . 7 |- ( ( -u x e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
13	11, 12	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
14		negid 8292	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( x + -u x ) = 0 )
15	13, 14	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = 0 )
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15	isgrpi 13228	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
17	16	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℂfld e. Grp )
18		mulcl 8025	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
19	18	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
20		mulass 8029	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
21	20	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
22		adddi 8030	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
23	22	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
24		adddir 8036	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
25	24	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
26		1cnd 8061	. . 3 |- ( T. -> 1 e. CC )
27		mullid 8043	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( 1 x. x ) = x )
28	27	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 x. x ) = x )
29		mulrid 8042	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( x x. 1 ) = x )
30	29	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( x x. 1 ) = x )
31		mulcom 8027	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
32	31	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
33	2, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32	iscrngd 13676	. 2 |- ( T. -> ℂfld e. CRing )
34	33	mptru 1373	1 |- ℂfld e. CRing

Syntax hints:   /\ w3a 980   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7896   0cc0 7898   1c1 7899   + caddc 7901   x. cmul 7903   -ucneg 8217   Basecbs 12705   +g cplusg 12782   .rcmulr 12783   Grpcgrp 13204   CRingccrg 13631  ℂ_fldccnfld 14190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-addf 8020  ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-uz 9621  df-rp 9748  df-fz 10103  df-cj 11026  df-abs 11183  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-starv 12797  df-tset 12801  df-ple 12802  df-ds 12804  df-unif 12805  df-0g 12962  df-topgen 12964  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-cmn 13494  df-mgp 13555  df-ring 13632  df-cring 13633  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-fg 14183  df-metu 14184  df-cnfld 14191

This theorem is referenced by:  cnring  14204  cnfldui  14223  zringcrng  14226  zring0  14234