Theorem cncrng 14057

Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncrng	|- ℂfld e. CRing

Proof of Theorem cncrng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 14051	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
3		cnfldadd 14052	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> + = ( +g ` ℂfld ) )
5		cnfldmul 14054	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℂfld )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> x. = ( .r ` ℂfld ) )
7		addcl 7997	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
8		addass 8002	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) + z ) = ( x + ( y + z ) ) )
9		0cn 8011	. . . . 5 |- 0 e. CC
10		addlid 8158	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( 0 + x ) = x )
11		negcl 8219	. . . . 5 |- ( x e. CC -> -u x e. CC )
12		addcom 8156	. . . . . . 7 |- ( ( -u x e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
13	11, 12	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
14		negid 8266	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( x + -u x ) = 0 )
15	13, 14	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = 0 )
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15	isgrpi 13096	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
17	16	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℂfld e. Grp )
18		mulcl 7999	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
19	18	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
20		mulass 8003	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
21	20	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
22		adddi 8004	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
23	22	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
24		adddir 8010	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
25	24	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
26		1cnd 8035	. . 3 |- ( T. -> 1 e. CC )
27		mullid 8017	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( 1 x. x ) = x )
28	27	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 x. x ) = x )
29		mulrid 8016	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( x x. 1 ) = x )
30	29	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( x x. 1 ) = x )
31		mulcom 8001	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
32	31	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
33	2, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32	iscrngd 13538	. 2 |- ( T. -> ℂfld e. CRing )
34	33	mptru 1373	1 |- ℂfld e. CRing

Syntax hints:   /\ w3a 980   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   -ucneg 8191   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696   Grpcgrp 13072   CRingccrg 13493  ℂ_fldccnfld 14047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-fz 10075  df-cj 10986  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-cmn 13356  df-mgp 13417  df-ring 13494  df-cring 13495  df-icnfld 14048

This theorem is referenced by:  cnring  14058  cnfldui  14077  zringcrng  14080  zring0  14088