Theorem cncrng 14533

Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncrng	|- ℂfld e. CRing

Proof of Theorem cncrng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 14524	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
3		cnfldadd 14526	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> + = ( +g ` ℂfld ) )
5		cnfldmul 14528	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℂfld )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> x. = ( .r ` ℂfld ) )
7		addcl 8124	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
8		addass 8129	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) + z ) = ( x + ( y + z ) ) )
9		0cn 8138	. . . . 5 |- 0 e. CC
10		addlid 8285	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( 0 + x ) = x )
11		negcl 8346	. . . . 5 |- ( x e. CC -> -u x e. CC )
12		addcom 8283	. . . . . . 7 |- ( ( -u x e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
13	11, 12	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
14		negid 8393	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( x + -u x ) = 0 )
15	13, 14	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = 0 )
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15	isgrpi 13557	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
17	16	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℂfld e. Grp )
18		mulcl 8126	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
19	18	3adant1 1039	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
20		mulass 8130	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
21	20	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
22		adddi 8131	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
23	22	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
24		adddir 8137	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
25	24	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
26		1cnd 8162	. . 3 |- ( T. -> 1 e. CC )
27		mullid 8144	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( 1 x. x ) = x )
28	27	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 x. x ) = x )
29		mulrid 8143	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( x x. 1 ) = x )
30	29	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( x x. 1 ) = x )
31		mulcom 8128	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
32	31	3adant1 1039	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
33	2, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32	iscrngd 14005	. 2 |- ( T. -> ℂfld e. CRing )
34	33	mptru 1404	1 |- ℂfld e. CRing

Syntax hints:   /\ w3a 1002   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   -ucneg 8318   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   .rcmulr 13111   Grpcgrp 13533   CRingccrg 13960  ℂ_fldccnfld 14520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-addf 8121  ax-mulf 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579  df-uz 9723  df-rp 9850  df-fz 10205  df-cj 11353  df-abs 11510  df-struct 13034  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-starv 13125  df-tset 13129  df-ple 13130  df-ds 13132  df-unif 13133  df-0g 13291  df-topgen 13293  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-cmn 13823  df-mgp 13884  df-ring 13961  df-cring 13962  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-fg 14513  df-metu 14514  df-cnfld 14521

This theorem is referenced by:  cnring  14534  cnfldui  14553  zringcrng  14556  zring0  14564