Theorem cncrng 14990

Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncrng	|- ℂfld e. CRing

Proof of Theorem cncrng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 14981	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
3		cnfldadd 14983	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> + = ( +g ` ℂfld ) )
5		cnfldmul 14985	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℂfld )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> x. = ( .r ` ℂfld ) )
7		addcl 8305	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
8		addass 8310	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) + z ) = ( x + ( y + z ) ) )
9		0cn 8319	. . . . 5 |- 0 e. CC
10		addlid 8467	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( 0 + x ) = x )
11		negcl 8528	. . . . 5 |- ( x e. CC -> -u x e. CC )
12		addcom 8465	. . . . . . 7 |- ( ( -u x e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
13	11, 12	mpancom 426	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = ( x + -u x ) )
14		negid 8575	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( x + -u x ) = 0 )
15	13, 14	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( -u x + x ) = 0 )
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15	isgrpi 13882	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
17	16	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℂfld e. Grp )
18		mulcl 8307	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
19	18	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
20		mulass 8311	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
21	20	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x x. y ) x. z ) = ( x x. ( y x. z ) ) )
22		adddi 8312	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
23	22	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( x x. ( y + z ) ) = ( ( x x. y ) + ( x x. z ) ) )
24		adddir 8318	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
25	24	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x + y ) x. z ) = ( ( x x. z ) + ( y x. z ) ) )
26		1cnd 8343	. . 3 |- ( T. -> 1 e. CC )
27		mullid 8325	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( 1 x. x ) = x )
28	27	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 x. x ) = x )
29		mulrid 8324	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( x x. 1 ) = x )
30	29	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( x x. 1 ) = x )
31		mulcom 8309	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
32	31	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
33	2, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32	iscrngd 14431	. 2 |- ( T. -> ℂfld e. CRing )
34	33	mptru 1411	1 |- ℂfld e. CRing

This proof depends on syntax axioms:   /\ w3a 1009   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8178   0cc0 8180   1c1 8181   + caddc 8183   x. cmul 8185   -ucneg 8500   Basecbs 13404   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   Grpcgrp 13858   CRingccrg 14385  ℂ_fldccnfld 14977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-cj 11623  df-abs 11781  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13665  df-topgen 13667  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-cmn 14173  df-mgp 14302  df-ring 14386  df-cring 14387  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-fg 14970  df-metu 14971  df-cnfld 14978

This theorem is used by:  cnring  14991  cnfldui  15008  zringcrng  15011  zring0  15019