Theorem dflidl2rng 14801

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a (left) ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflidl2rng.u	|- U = (LIdeal ` R )
dflidl2rng.b	|- B = ( Base ` R )
dflidl2rng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dflidl2rng	|- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, I, y   x, R, y   x, U, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)

Proof of Theorem dflidl2rng

Dummy variables z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> R e. Rng )
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> I e. U )
3		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
4	3	subg0cl 13968	. . . . . 6 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> ( 0g ` R ) e. I )
5	4	ad2antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) e. I )
6	1, 2, 5	3jca 1208	. . . 4 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> ( R e. Rng /\ I e. U /\ ( 0g ` R ) e. I ) )
7		dflidl2rng.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
8		dflidl2rng.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
9		dflidl2rng.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
10	3, 7, 8, 9	rnglidlmcl 14800	. . . 4 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ ( 0g ` R ) e. I ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) -> ( x .x. y ) e. I )
11	6, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) -> ( x .x. y ) e. I )
12	11	ralrimivva 2632	. 2 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I )
13	7	subgss 13960	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> I C_ B )
14	13	ad2antlr 493	. . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> I C_ B )
15		elex2 2838	. . . . 5 |- ( ( 0g ` R ) e. I -> E. j j e. I )
16	4, 15	syl 14	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> E. j j e. I )
17	16	ad2antlr 493	. . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> E. j j e. I )
18		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
19	18	subgcl 13970	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. (SubGrp ` R ) /\ ( x .x. y ) e. I /\ z e. I ) -> ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
20	19	ad5ant245 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) /\ ( x .x. y ) e. I ) /\ z e. I ) -> ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
21	20	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) /\ ( x .x. y ) e. I ) -> A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
22	21	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) -> ( ( x .x. y ) e. I -> A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I ) )
23	22	ralimdvva 2619	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I -> A. x e. B A. y e. I A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I ) )
24	23	imp 124	. . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> A. x e. B A. y e. I A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
25	9, 7, 18, 8	islidlm 14799	. . 3 |- ( I e. U <-> ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. y e. I A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I ) )
26	14, 17, 24, 25	syl3anbrc 1212	. 2 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> I e. U )
27	12, 26	impbida 604	1 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   +g cplusg 13414   .rcmulr 13415   0gc0g 13593  SubGrpcsubg 13953  Rngcrng 14214  LIdealclidl 14787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-subg 13956  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-rng 14215  df-lssm 14673  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789

This theorem is referenced by:  isridlrng  14802  dflidl2  14808  df2idl2rng  14828