Theorem dflidl2rng 14293

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a (left) ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflidl2rng.u	|- U = (LIdeal ` R )
dflidl2rng.b	|- B = ( Base ` R )
dflidl2rng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dflidl2rng	|- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, I, y   x, R, y   x, U, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)

Proof of Theorem dflidl2rng

Dummy variables z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> R e. Rng )
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> I e. U )
3		eqid 2206	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
4	3	subg0cl 13568	. . . . . 6 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> ( 0g ` R ) e. I )
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) e. I )
6	1, 2, 5	3jca 1180	. . . 4 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> ( R e. Rng /\ I e. U /\ ( 0g ` R ) e. I ) )
7		dflidl2rng.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
8		dflidl2rng.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
9		dflidl2rng.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
10	3, 7, 8, 9	rnglidlmcl 14292	. . . 4 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ ( 0g ` R ) e. I ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) -> ( x .x. y ) e. I )
11	6, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) -> ( x .x. y ) e. I )
12	11	ralrimivva 2589	. 2 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I )
13	7	subgss 13560	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> I C_ B )
14	13	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> I C_ B )
15		elex2 2790	. . . . 5 |- ( ( 0g ` R ) e. I -> E. j j e. I )
16	4, 15	syl 14	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> E. j j e. I )
17	16	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> E. j j e. I )
18		eqid 2206	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
19	18	subgcl 13570	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. (SubGrp ` R ) /\ ( x .x. y ) e. I /\ z e. I ) -> ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
20	19	ad5ant245 1239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) /\ ( x .x. y ) e. I ) /\ z e. I ) -> ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
21	20	ralrimiva 2580	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) /\ ( x .x. y ) e. I ) -> A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
22	21	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) -> ( ( x .x. y ) e. I -> A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I ) )
23	22	ralimdvva 2576	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I -> A. x e. B A. y e. I A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I ) )
24	23	imp 124	. . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> A. x e. B A. y e. I A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
25	9, 7, 18, 8	islidlm 14291	. . 3 |- ( I e. U <-> ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. y e. I A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I ) )
26	14, 17, 24, 25	syl3anbrc 1184	. 2 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> I e. U )
27	12, 26	impbida 596	1 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   A.wral 2485   C_ wss 3168   ` cfv 5277  (class class class)co 5954   Basecbs 12882   +g cplusg 12959   .rcmulr 12960   0gc0g 13138  SubGrpcsubg 13553  Rngcrng 13744  LIdealclidl 14279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-ip 12977  df-0g 13140  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-grp 13385  df-subg 13556  df-abl 13673  df-mgp 13733  df-rng 13745  df-lssm 14165  df-sra 14247  df-rgmod 14248  df-lidl 14281

This theorem is referenced by:  isridlrng  14294  dflidl2  14300  df2idl2rng  14320