Theorem dflidl2rng 13794

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a (left) ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflidl2rng.u	|- U = (LIdeal ` R )
dflidl2rng.b	|- B = ( Base ` R )
dflidl2rng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dflidl2rng	|- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, I, y   x, R, y   x, U, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)

Proof of Theorem dflidl2rng

Dummy variables z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> R e. Rng )
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> I e. U )
3		eqid 2189	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
4	3	subg0cl 13118	. . . . . 6 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> ( 0g ` R ) e. I )
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) e. I )
6	1, 2, 5	3jca 1179	. . . 4 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> ( R e. Rng /\ I e. U /\ ( 0g ` R ) e. I ) )
7		dflidl2rng.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
8		dflidl2rng.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
9		dflidl2rng.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
10	3, 7, 8, 9	rnglidlmcl 13793	. . . 4 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. U /\ ( 0g ` R ) e. I ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) -> ( x .x. y ) e. I )
11	6, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) -> ( x .x. y ) e. I )
12	11	ralrimivva 2572	. 2 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ I e. U ) -> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I )
13	7	subgss 13110	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> I C_ B )
14	13	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> I C_ B )
15		elex2 2768	. . . . 5 |- ( ( 0g ` R ) e. I -> E. j j e. I )
16	4, 15	syl 14	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> E. j j e. I )
17	16	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> E. j j e. I )
18		eqid 2189	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
19	18	subgcl 13120	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. (SubGrp ` R ) /\ ( x .x. y ) e. I /\ z e. I ) -> ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
20	19	ad5ant245 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) /\ ( x .x. y ) e. I ) /\ z e. I ) -> ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
21	20	ralrimiva 2563	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) /\ ( x .x. y ) e. I ) -> A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
22	21	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ ( x e. B /\ y e. I ) ) -> ( ( x .x. y ) e. I -> A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I ) )
23	22	ralimdvva 2559	. . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I -> A. x e. B A. y e. I A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I ) )
24	23	imp 124	. . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> A. x e. B A. y e. I A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I )
25	9, 7, 18, 8	islidlm 13792	. . 3 |- ( I e. U <-> ( I C_ B /\ E. j j e. I /\ A. x e. B A. y e. I A. z e. I ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) z ) e. I ) )
26	14, 17, 24, 25	syl3anbrc 1183	. 2 |- ( ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) /\ A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) -> I e. U )
27	12, 26	impbida 596	1 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   C_ wss 3144   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   Basecbs 12511   +g cplusg 12586   .rcmulr 12587   0gc0g 12758  SubGrpcsubg 13103  Rngcrng 13283  LIdealclidl 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-ltxr 8026  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-iress 12519  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-ip 12604  df-0g 12760  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-grp 12945  df-subg 13106  df-abl 13223  df-mgp 13272  df-rng 13284  df-lssm 13666  df-sra 13748  df-rgmod 13749  df-lidl 13782

This theorem is referenced by:  isridlrng  13795  dflidl2  13801  df2idl2rng  13820