Theorem df2idl2rng 14437

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a two-sided ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left- and right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
df2idl2rng.u	⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
df2idl2rng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
df2idl2rng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
df2idl2rng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem df2idl2rng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
2		df2idl2rng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		df2idl2rng.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dflidl2rng 14410	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))
5		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
6	5, 2, 3	isridlrng 14411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
7	4, 6	anbi12d 473	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
8		eqid 2209	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
9		df2idl2rng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
10	1, 8, 5, 9	2idlelb 14434	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
11		r19.26-2 2640	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
12	7, 10, 11	3bitr4g 223	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  ._rcmulr 13077  SubGrpcsubg 13670  Rngcrng 13861  opp_rcoppr 13996  LIdealclidl 14396  2Idealc2idl 14428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-tpos 6361  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-subg 13673  df-cmn 13789  df-abl 13790  df-mgp 13850  df-rng 13862  df-oppr 13997  df-lssm 14282  df-sra 14364  df-rgmod 14365  df-lidl 14398  df-2idl 14429

This theorem is referenced by:  df2idl2  14438