Theorem df2idl2rng 14847

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a two-sided ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left- and right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
df2idl2rng.u	⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
df2idl2rng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
df2idl2rng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
df2idl2rng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem df2idl2rng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
2		df2idl2rng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		df2idl2rng.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dflidl2rng 14820	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
6	5, 2, 3	isridlrng 14821	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
7	4, 6	anbi12d 477	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
8		eqid 2238	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
9		df2idl2rng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
10	1, 8, 5, 9	2idlelb 14844	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
11		r19.26-2 2680	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
12	7, 10, 11	3bitr4g 223	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  ._rcmulr 13434  SubGrpcsubg 13972  Rngcrng 14233  opp_rcoppr 14374  LIdealclidl 14806  2Idealc2idl 14838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-tpos 6516  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-subg 13975  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-mgp 14220  df-rng 14234  df-oppr 14375  df-lssm 14692  df-sra 14774  df-rgmod 14775  df-lidl 14808  df-2idl 14839

This theorem is used by:  df2idl2  14848