Theorem diffifi 6860

Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffifi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffifi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 988	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2		simp1 987	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simp3 989	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		sseq1 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
5	4	anbi2d 460	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6		difeq2 3234	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ ∅))
7	6	eleq1d 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin))
8	5, 7	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)))
9		sseq1 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
10	9	anbi2d 460	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
11		difeq2 3234	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ 𝑦))
12	11	eleq1d 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
13	10, 12	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)))
14		sseq1 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
15	14	anbi2d 460	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
16		difeq2 3234	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})))
17	16	eleq1d 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
18	15, 17	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
19		sseq1 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
20	19	anbi2d 460	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
21		difeq2 3234	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ 𝐵))
22	21	eleq1d 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
23	20, 22	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)))
24		dif0 3479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
25	24	eleq1i 2232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
26	25	biimpri 132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
27	26	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
28		difun1 3382	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧})
29		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
30		simprr 522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
31	30	unssad 3299	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
32		simplr 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
33	29, 31, 32	mp2and 430	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)
34		vsnid 3608	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
35		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
36	35	unssbd 3300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
37	36	sseld 3141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ 𝐴))
38	34, 37	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
39	38	adantllr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
40		simpllr 524	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
41	39, 40	eldifd 3126	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
42		diffisn 6859	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
43	33, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
44	28, 43	eqeltrid 2253	. . . . 5 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
45	44	exp31 362	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
46	8, 13, 18, 23, 27, 45	findcard2s 6856	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
47	46	imp 123	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
48	1, 2, 3, 47	syl12anc 1226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ∖ cdif 3113   ∪ cun 3114   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  {csn 3576  Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  unfiin  6891  fihashssdif  10731  hashdifpr  10733  fsumlessfi  11401  hash2iun1dif1  11421