ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  diffifi GIF version

Theorem diffifi 6907
Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
diffifi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffifi
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 999 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2 simp1 998 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 simp3 1000 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
4 sseq1 3190 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
54anbi2d 464 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6 difeq2 3259 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ ∅))
76eleq1d 2256 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin))
85, 7imbi12d 234 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)))
9 sseq1 3190 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐴𝑦𝐴))
109anbi2d 464 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴)))
11 difeq2 3259 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑦))
1211eleq1d 2256 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
1310, 12imbi12d 234 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)))
14 sseq1 3190 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
1514anbi2d 464 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
16 difeq2 3259 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})))
1716eleq1d 2256 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
1815, 17imbi12d 234 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
19 sseq1 3190 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐴𝐵𝐴))
2019anbi2d 464 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)))
21 difeq2 3259 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝐵))
2221eleq1d 2256 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
2320, 22imbi12d 234 . . . 4 (𝑤 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)))
24 dif0 3505 . . . . . . 7 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
2524eleq1i 2253 . . . . . 6 ((𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
2625biimpri 133 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
2726adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
28 difun1 3407 . . . . . 6 (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧})
29 simprl 529 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
30 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3130unssad 3324 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐴)
32 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin))
3329, 31, 32mp2and 433 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)
34 vsnid 3636 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ {𝑧}
35 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3635unssbd 3325 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3736sseld 3166 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧𝐴))
3834, 37mpi 15 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
3938adantllr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
40 simpllr 534 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑦)
4139, 40eldifd 3151 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
42 diffisn 6906 . . . . . . 7 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
4428, 43eqeltrid 2274 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
4544exp31 364 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
468, 13, 18, 23, 27, 45findcard2s 6903 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin))
4746imp 124 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
481, 2, 3, 47syl12anc 1246 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  cdif 3138  cun 3139  wss 3141  c0 3434  {csn 3604  Fincfn 6753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-er 6548  df-en 6754  df-fin 6756
This theorem is referenced by:  unfiin  6938  fihashssdif  10811  hashdifpr  10813  fsumlessfi  11481  hash2iun1dif1  11501
  Copyright terms: Public domain W3C validator