ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  diffifi GIF version

Theorem diffifi 6664
Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
diffifi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffifi
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 945 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2 simp1 944 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 simp3 946 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
4 sseq1 3048 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
54anbi2d 453 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6 difeq2 3113 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ ∅))
76eleq1d 2157 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin))
85, 7imbi12d 233 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)))
9 sseq1 3048 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐴𝑦𝐴))
109anbi2d 453 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴)))
11 difeq2 3113 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑦))
1211eleq1d 2157 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
1310, 12imbi12d 233 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)))
14 sseq1 3048 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
1514anbi2d 453 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
16 difeq2 3113 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})))
1716eleq1d 2157 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
1815, 17imbi12d 233 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
19 sseq1 3048 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐴𝐵𝐴))
2019anbi2d 453 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)))
21 difeq2 3113 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝐵))
2221eleq1d 2157 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
2320, 22imbi12d 233 . . . 4 (𝑤 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)))
24 dif0 3357 . . . . . . 7 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
2524eleq1i 2154 . . . . . 6 ((𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
2625biimpri 132 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
2726adantr 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
28 difun1 3260 . . . . . 6 (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧})
29 simprl 499 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
30 simprr 500 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3130unssad 3178 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐴)
32 simplr 498 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin))
3329, 31, 32mp2and 425 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)
34 vsnid 3480 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ {𝑧}
35 simprr 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3635unssbd 3179 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3736sseld 3025 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧𝐴))
3834, 37mpi 15 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
3938adantllr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
40 simpllr 502 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑦)
4139, 40eldifd 3010 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
42 diffisn 6663 . . . . . . 7 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 404 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
4428, 43syl5eqel 2175 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
4544exp31 357 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
468, 13, 18, 23, 27, 45findcard2s 6660 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin))
4746imp 123 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
481, 2, 3, 47syl12anc 1173 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439  cdif 2997  cun 2998  wss 3000  c0 3287  {csn 3450  Fincfn 6511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-er 6306  df-en 6512  df-fin 6514
This theorem is referenced by:  unfiin  6690  fihashssdif  10287  hashdifpr  10289  fsumlessfi  10915  hash2iun1dif1  10935
  Copyright terms: Public domain W3C validator