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Theorem diffifi 6937
Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
diffifi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffifi
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1000 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2 simp1 999 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 simp3 1001 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
4 sseq1 3198 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
54anbi2d 464 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6 difeq2 3267 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ ∅))
76eleq1d 2258 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin))
85, 7imbi12d 234 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)))
9 sseq1 3198 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐴𝑦𝐴))
109anbi2d 464 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴)))
11 difeq2 3267 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑦))
1211eleq1d 2258 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
1310, 12imbi12d 234 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)))
14 sseq1 3198 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
1514anbi2d 464 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
16 difeq2 3267 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})))
1716eleq1d 2258 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
1815, 17imbi12d 234 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
19 sseq1 3198 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐴𝐵𝐴))
2019anbi2d 464 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)))
21 difeq2 3267 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝐵))
2221eleq1d 2258 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
2320, 22imbi12d 234 . . . 4 (𝑤 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)))
24 dif0 3513 . . . . . . 7 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
2524eleq1i 2255 . . . . . 6 ((𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
2625biimpri 133 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
2726adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
28 difun1 3415 . . . . . 6 (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧})
29 simprl 529 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
30 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3130unssad 3332 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐴)
32 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin))
3329, 31, 32mp2and 433 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)
34 vsnid 3646 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ {𝑧}
35 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3635unssbd 3333 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3736sseld 3174 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧𝐴))
3834, 37mpi 15 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
3938adantllr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
40 simpllr 534 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑦)
4139, 40eldifd 3159 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
42 diffisn 6936 . . . . . . 7 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
4428, 43eqeltrid 2276 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
4544exp31 364 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
468, 13, 18, 23, 27, 45findcard2s 6933 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin))
4746imp 124 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
481, 2, 3, 47syl12anc 1247 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  cdif 3146  cun 3147  wss 3149  c0 3442  {csn 3614  Fincfn 6781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-er 6574  df-en 6782  df-fin 6784
This theorem is referenced by:  unfiin  6969  fihashssdif  10863  hashdifpr  10865  fsumlessfi  11577  hash2iun1dif1  11597
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