Theorem diffifi 7198

Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffifi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffifi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1029	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2		simp1 1028	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		simp3 1030	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		sseq1 3271	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
5	4	anbi2d 468	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6		difeq2 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ ∅))
7	6	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin))
8	5, 7	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)))
9		sseq1 3271	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
10	9	anbi2d 468	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
11		difeq2 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ 𝑦))
12	11	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
13	10, 12	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)))
14		sseq1 3271	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
15	14	anbi2d 468	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
16		difeq2 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})))
17	16	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
18	15, 17	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
19		sseq1 3271	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
20	19	anbi2d 468	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
21		difeq2 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝑤) = (𝐴 ∖ 𝐵))
22	21	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)))
24		dif0 3596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
25	24	eleq1i 2304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
26	25	biimpri 133	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
28		difun1 3491	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧})
29		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
30		simprr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
31	30	unssad 3406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
32		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin))
33	29, 31, 32	mp2and 437	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)
34		vsnid 3741	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
35		simprr 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
36	35	unssbd 3407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
37	36	sseld 3247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ 𝐴))
38	34, 37	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
39	38	adantllr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
40		simpllr 540	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
41	39, 40	eldifd 3230	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
42		diffisn 7197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
43	33, 41, 42	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
44	28, 43	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
45	44	exp31 364	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
46	8, 13, 18, 23, 27, 45	findcard2s 7194	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
47	46	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
48	1, 2, 3, 47	syl12anc 1276	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709  Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  unfiin  7233  fihashssdif  11259  hashdifpr  11261  hashf1lem2  11286  fsumlessfi  12227  hash2iun1dif1  12247  ballotfilemafi  13238  ballotfilembfi  13239  ballotfilemth  13281