Theorem divcanap3 8631

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divcanap3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Proof of Theorem divcanap3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. 2 |- ( B x. A ) = ( B x. A )
2		simp2 998	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> B e. CC )
3		simp1 997	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> A e. CC )
4	2, 3	mulcld 7955	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B x. A ) e. CC )
5		3simpc 996	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
6		divmulap 8608	. . 3 |- ( ( ( B x. A ) e. CC /\ A e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( ( B x. A ) / B ) = A <-> ( B x. A ) = ( B x. A ) ) )
7	4, 3, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( ( B x. A ) / B ) = A <-> ( B x. A ) = ( B x. A ) ) )
8	1, 7	mpbiri 168	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   CCcc 7787   0cc0 7789   x. cmul 7794   # cap 8515   / cdiv 8605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606

This theorem is referenced by:  divcanap4  8632  muldivdirap  8640  divmuldivap  8645  divcanap3zi  8684  divcanap3i  8691  divcanap3d  8728  2halves  9124  halfaddsub  9129  zdiv  9317  reim  10832  crim  10838  efival  11711  cosadd  11716  cosmul  11724