Theorem divcanap3d 8888

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divclapd.3	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcanap3d	|- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Proof of Theorem divcanap3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divclapd.3	. 2 |- ( ph -> B # 0 )
4		divcanap3 8791	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1250	1 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   CCcc 7943   0cc0 7945   x. cmul 7950   # cap 8674   / cdiv 8765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8944  ltdivmul  8969  ledivmul  8970  ltdiv23  8985  lediv23  8986  zneo  9494  2tnp1ge0ge0  10466  modqdiffl  10502  zesq  10825  bcn1  10925  crre  11243  resqrexlemover  11396  resqrexlemcalc1  11400  max0addsup  11605  eirraplem  12163  ltoddhalfle  12279  flodddiv4  12322  bitsp1e  12338  bitsp1o  12339  sqrt2irrlem  12558  pythagtriplem12  12673  pythagtriplem14  12675  pythagtriplem15  12676  pythagtriplem16  12677  pythagtriplem17  12678  fldivp1  12746  4sqlem17  12805  dvrecap  15260  perfectlem2  15547  lgsquadlem1  15629  lgsquadlem2  15630  2lgslem1c  15642  2lgslem3a  15645