Theorem cosmul 12456

Description: Product of cosines can be rewritten as half the sum of certain cosines. This follows from cosadd 12448 and cossub 12452. (Contributed by David A. Wheeler, 26-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosmul	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )

Proof of Theorem cosmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 12418	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
2		coscl 12418	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
3		mulcl 8270	. . . . 5 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ ( cos ` B ) e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
5		2cn 9325	. . . . 5 |- 2 e. CC
6		2ap0 9347	. . . . 5 |- 2 # 0
7	5, 6	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
8		3anass 1009	. . . 4 |- ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) <-> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) )
9	4, 7, 8	sylanblrc 416	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
10		divcanap3 8989	. . 3 |- ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) / 2 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) / 2 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
12		sincl 12417	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
13		sincl 12417	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
14		mulcl 8270	. . . . . 6 |- ( ( ( sin ` A ) e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
16	4, 15, 4	ppncand 8640	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
17		cossub 12452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A - B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
18		cosadd 12448	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
19	17, 18	oveq12d 6076	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
20	4	2timesd 9498	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
21	16, 19, 20	3eqtr4rd 2278	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) )
22	21	oveq1d 6073	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
23	11, 22	eqtr3d 2269	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   + caddc 8146   x. cmul 8148   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   2c2 9305   sincsin 12355   cosccos 12356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-ico 10246  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-sin 12361  df-cos 12362

This theorem is referenced by: (None)