Theorem cosmul 12277

Description: Product of cosines can be rewritten as half the sum of certain cosines. This follows from cosadd 12269 and cossub 12273. (Contributed by David A. Wheeler, 26-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosmul	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )

Proof of Theorem cosmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 12239	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
2		coscl 12239	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
3		mulcl 8142	. . . . 5 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ ( cos ` B ) e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
5		2cn 9197	. . . . 5 |- 2 e. CC
6		2ap0 9219	. . . . 5 |- 2 # 0
7	5, 6	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
8		3anass 1006	. . . 4 |- ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) <-> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) )
9	4, 7, 8	sylanblrc 416	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
10		divcanap3 8861	. . 3 |- ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) / 2 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) / 2 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
12		sincl 12238	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
13		sincl 12238	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
14		mulcl 8142	. . . . . 6 |- ( ( ( sin ` A ) e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
16	4, 15, 4	ppncand 8513	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
17		cossub 12273	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A - B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
18		cosadd 12269	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
19	17, 18	oveq12d 6028	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
20	4	2timesd 9370	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
21	16, 19, 20	3eqtr4rd 2273	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) )
22	21	oveq1d 6025	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
23	11, 22	eqtr3d 2264	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   CCcc 8013   0cc0 8015   + caddc 8018   x. cmul 8020   - cmin 8333   # cap 8744   / cdiv 8835   2c2 9177   sincsin 12176   cosccos 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-ico 10107  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-fac 10965  df-bc 10987  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886  df-ef 12180  df-sin 12182  df-cos 12183

This theorem is referenced by: (None)