Theorem cosmul 12427

Description: Product of cosines can be rewritten as half the sum of certain cosines. This follows from cosadd 12419 and cossub 12423. (Contributed by David A. Wheeler, 26-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosmul	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )

Proof of Theorem cosmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 12389	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
2		coscl 12389	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
3		mulcl 8253	. . . . 5 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ ( cos ` B ) e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
5		2cn 9307	. . . . 5 |- 2 e. CC
6		2ap0 9329	. . . . 5 |- 2 # 0
7	5, 6	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
8		3anass 1009	. . . 4 |- ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) <-> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) )
9	4, 7, 8	sylanblrc 416	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
10		divcanap3 8971	. . 3 |- ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) / 2 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) / 2 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) )
12		sincl 12388	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
13		sincl 12388	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
14		mulcl 8253	. . . . . 6 |- ( ( ( sin ` A ) e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
16	4, 15, 4	ppncand 8623	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
17		cossub 12423	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A - B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
18		cosadd 12419	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
19	17, 18	oveq12d 6067	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) ) )
20	4	2timesd 9480	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) )
21	16, 19, 20	3eqtr4rd 2276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) = ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) )
22	21	oveq1d 6064	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )
23	11, 22	eqtr3d 2267	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A - B ) ) + ( cos ` ( A + B ) ) ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8124   0cc0 8126   + caddc 8129   x. cmul 8131   - cmin 8443   # cap 8854   / cdiv 8945   2c2 9287   sincsin 12326   cosccos 12327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-disj 4085  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-ico 10226  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-fac 11087  df-bc 11109  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-sumdc 12035  df-ef 12330  df-sin 12332  df-cos 12333

This theorem is referenced by: (None)