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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > efi4p | Unicode version |
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) |
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efi4p.1 |
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efi4p |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ax-icn 7739 |
. . . 4
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2 | mulcl 7771 |
. . . 4
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3 | 1, 2 | mpan 421 |
. . 3
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4 | efi4p.1 |
. . . 4
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5 | 4 | ef4p 11437 |
. . 3
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6 | 3, 5 | syl 14 |
. 2
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7 | ax-1cn 7737 |
. . . . . 6
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8 | addcl 7769 |
. . . . . 6
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9 | 7, 3, 8 | sylancr 411 |
. . . . 5
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10 | 3 | sqcld 10453 |
. . . . . 6
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11 | 10 | halfcld 8988 |
. . . . 5
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12 | 3nn0 9019 |
. . . . . . 7
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13 | expcl 10342 |
. . . . . . 7
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14 | 3, 12, 13 | sylancl 410 |
. . . . . 6
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15 | 6cn 8826 |
. . . . . . 7
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16 | 6re 8825 |
. . . . . . . 8
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17 | 6pos 8845 |
. . . . . . . 8
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18 | 16, 17 | gt0ap0ii 8414 |
. . . . . . 7
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19 | divclap 8462 |
. . . . . . 7
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20 | 15, 18, 19 | mp3an23 1308 |
. . . . . 6
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21 | 14, 20 | syl 14 |
. . . . 5
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22 | 9, 11, 21 | addassd 7812 |
. . . 4
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23 | 7 | a1i 9 |
. . . . 5
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24 | 23, 3, 11, 21 | add4d 7955 |
. . . 4
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25 | 2nn0 9018 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | mulexp 10363 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 1, 25, 26 | mp3an13 1307 |
. . . . . . . . . 10
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28 | i2 10424 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 28 | oveq1i 5792 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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31 | sqcl 10385 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | mulm1d 8196 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 27, 30, 32 | 3eqtrd 2177 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | oveq1d 5797 |
. . . . . . . 8
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35 | 2cn 8815 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 2ap0 8837 |
. . . . . . . . . 10
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37 | divnegap 8490 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 35, 36, 37 | mp3an23 1308 |
. . . . . . . . 9
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39 | 31, 38 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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40 | 34, 39 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . 7
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41 | 40 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
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42 | 31 | halfcld 8988 |
. . . . . . 7
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43 | negsub 8034 |
. . . . . . 7
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44 | 7, 42, 43 | sylancr 411 |
. . . . . 6
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45 | 41, 44 | eqtrd 2173 |
. . . . 5
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46 | mulexp 10363 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 1, 12, 46 | mp3an13 1307 |
. . . . . . . . . 10
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48 | i3 10425 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 48 | oveq1i 5792 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 47, 49 | eqtrdi 2189 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | oveq1d 5797 |
. . . . . . . 8
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52 | expcl 10342 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 12, 52 | mpan2 422 |
. . . . . . . . 9
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54 | negicn 7987 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 15, 18 | pm3.2i 270 |
. . . . . . . . . 10
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56 | divassap 8474 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 54, 55, 56 | mp3an13 1307 |
. . . . . . . . 9
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58 | 53, 57 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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59 | divclap 8462 |
. . . . . . . . . . 11
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60 | 15, 18, 59 | mp3an23 1308 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 53, 60 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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62 | mulneg12 8183 |
. . . . . . . . 9
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63 | 1, 61, 62 | sylancr 411 |
. . . . . . . 8
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64 | 51, 58, 63 | 3eqtrd 2177 |
. . . . . . 7
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65 | 64 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
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66 | 61 | negcld 8084 |
. . . . . . 7
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67 | adddi 7776 |
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68 | 1, 67 | mp3an1 1303 |
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69 | 66, 68 | mpdan 418 |
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70 | negsub 8034 |
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71 | 61, 70 | mpdan 418 |
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73 | 65, 69, 72 | 3eqtr2d 2179 |
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74 | 45, 73 | oveq12d 5800 |
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75 | 22, 24, 74 | 3eqtrd 2177 |
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76 | 75 | oveq1d 5797 |
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77 | 6, 76 | eqtrd 2173 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-5 8806 df-6 8807 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-ico 9707 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-fac 10504 df-ihash 10554 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 df-sumdc 11155 df-ef 11391 |
This theorem is referenced by: resin4p 11461 recos4p 11462 |
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