Theorem dvrcl 14170

Description: Closure of division operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcl.b	|- B = ( Base ` R )
dvrcl.o	|- U = (Unit ` R )
dvrcl.d	|- ./ = (/r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrcl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) e. B )

Proof of Theorem dvrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		eqidd 2231	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
4		dvrcl.o	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
6		eqidd 2231	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
7		dvrcl.d	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ./ = (/r ` R ) )
9		simp1 1023	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
10		simp2 1024	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> X e. B )
11		simp3 1025	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. U )
12	2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11	dvrvald 14169	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) = ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Y ) ) )
13		eqid 2230	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
14	4, 13, 1	ringinvcl 14160	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
15	14	3adant2 1042	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
16		eqid 2230	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
17	1, 16	ringcl 14047	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B ) -> ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Y ) ) e. B )
18	15, 17	syld3an3 1318	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Y ) ) e. B )
19	12, 18	eqeltrd 2307	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   ` cfv 5325  (class class class)co 6020   Basecbs 13102   .rcmulr 13181   Ringcrg 14030  Unitcui 14121   invrcinvr 14155  /_rcdvr 14166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-tpos 6413  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-ltxr 8221  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-sets 13109  df-iress 13110  df-plusg 13193  df-mulr 13194  df-0g 13361  df-mgm 13459  df-sgrp 13505  df-mnd 13520  df-grp 13606  df-minusg 13607  df-cmn 13893  df-abl 13894  df-mgp 13955  df-ur 13994  df-srg 13998  df-ring 14032  df-oppr 14102  df-dvdsr 14123  df-unit 14124  df-invr 14156  df-dvr 14167

This theorem is referenced by:  rdivmuldivd  14179  lringuplu  14231