Theorem unitdvcl 14212

Description: The units are closed under division. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitdvcl.o	|- U = (Unit ` R )
unitdvcl.d	|- ./ = (/r ` R )

Assertion

Ref	Expression
unitdvcl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) e. U )

Proof of Theorem unitdvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
2		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
3		unitdvcl.o	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
5		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
6		unitdvcl.d	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ./ = (/r ` R ) )
8		simp1 1024	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
9		ringsrg 14122	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
10	9	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
11		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> X e. U )
12	1, 4, 10, 11	unitcld 14184	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> X e. ( Base ` R ) )
13		simp3 1026	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> Y e. U )
14	1, 2, 4, 5, 7, 8, 12, 13	dvrvald 14210	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) = ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Y ) ) )
15		eqid 2231	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
16	3, 15	unitinvcl 14199	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. U )
17	16	3adant2 1043	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. U )
18		eqid 2231	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
19	3, 18	unitmulcl 14189	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ ( ( invr ` R ) ` Y ) e. U ) -> ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Y ) ) e. U )
20	17, 19	syld3an3 1319	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Y ) ) e. U )
21	14, 20	eqeltrd 2308	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13143   .rcmulr 13222  SRingcsrg 14038   Ringcrg 14071  Unitcui 14162   invrcinvr 14196  /_rcdvr 14207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6454  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-cmn 13934  df-abl 13935  df-mgp 13996  df-ur 14035  df-srg 14039  df-ring 14073  df-oppr 14143  df-dvdsr 14164  df-unit 14165  df-invr 14197  df-dvr 14208

This theorem is referenced by: (None)