Theorem dvrcl 13631

Description: Closure of division operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcl.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcl.d	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dvrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2194	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
4		dvrcl.o	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2194	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
7		dvrcl.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → / = (/r‘𝑅))
9		simp1 999	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simp3 1001	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
12	2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11	dvrvald 13630	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
13		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
14	4, 13, 1	ringinvcl 13621	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	14	3adant2 1018	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	1, 16	ringcl 13509	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
18	15, 17	syld3an3 1294	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	12, 18	eqeltrd 2270	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  ._rcmulr 12696  Ringcrg 13492  Unitcui 13583  inv_rcinvr 13616  /_rcdvr 13627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-unit 13586  df-invr 13617  df-dvr 13628

This theorem is referenced by:  rdivmuldivd  13640  lringuplu  13692