Theorem lgseisenlem3 15794

Description: Lemma for lgseisen 15796. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgseisen.4	|- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
lgseisen.5	|- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
lgseisen.6	|- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
lgseisen.7	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgseisen.8	|- G = (mulGrp ` Y )
lgseisen.9	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
lgseisenlem3	|- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, L   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, Q, y   x, Y   x, S

Allowed substitution hints:   R( x, y)   S( y)   G( y)   L( y)   M( x)   Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6021	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. x ) )
2	1	fveq2d 5639	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( L ` ( 2 x. k ) ) = ( L ` ( 2 x. x ) ) )
3	2	cbvmptv 4183	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) )
4	3	oveq2i 6024	. . . . . 6 |- ( G gsumg ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
5		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
6		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
7		lgseisen.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
8	7	eldifad 3209	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Prime )
9		lgseisen.7	. . . . . . . . . . 11 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
10	9	znidom 14664	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> Y e. IDomn )
11	8, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. IDomn )
12	11	idomcringd 14285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CRing )
13		lgseisen.8	. . . . . . . . 9 |- G = (mulGrp ` Y )
14	13	crngmgp 14010	. . . . . . . 8 |- ( Y e. CRing -> G e. CMnd )
15	12, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CMnd )
16		1zzd 9499	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
17		oddn2prm 12827	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || P )
18	7, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 2 || P )
19		prmz 12676	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
20		oddm1d2 12446	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
21	8, 19, 20	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
22	18, 21	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
23	11	idomringd 14286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. Ring )
24		lgseisen.9	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( ZRHom ` Y )
25	24	zrhrhm 14630	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
26		zringbas 14603	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
27		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
28	26, 27	rhmf 14170	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
29	23, 25, 28	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
30		2z 9500	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
31		elfzelz 10253	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> k e. ZZ )
32		zmulcl 9526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
33	30, 31, 32	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
34		ffvelcdm 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) /\ ( 2 x. k ) e. ZZ ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) e. ( Base ` Y ) )
35	29, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) e. ( Base ` Y ) )
36	35	fmpttd 5798	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
37	13, 27	mgpbasg 13932	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. CRing -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
38	12, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
39	38	feq3d 5468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
40	36, 39	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
41		lgseisen.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
42		lgseisen.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P =/= Q )
43		lgseisen.4	. . . . . . . 8 |- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
44		lgseisen.5	. . . . . . . 8 |- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
45		lgseisen.6	. . . . . . . 8 |- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
46	7, 41, 42, 43, 44, 45	lgseisenlem2 15793	. . . . . . 7 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
47	5, 6, 15, 16, 22, 40, 46	gsumfzreidx 13917	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) )
48	4, 47	eqtr3id 2276	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) )
49	7, 41, 42, 43, 44	lgseisenlem1 15792	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
50	44	fmpt 5793	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
51	49, 50	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
52	44	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
53		eqidd 2230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) )
54		oveq2 6021	. . . . . . . 8 |- ( k = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
55	54	fveq2d 5639	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) = ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) )
56	51, 52, 53, 55	fmptcof 5810	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) )
57	56	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) ) )
58	41	eldifad 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Q e. Prime )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. Prime )
60		prmz 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ZZ )
62		2nn 9298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. NN
63		elfznn 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
65		nnmulcl 9157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. NN /\ x e. NN ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
66	62, 64, 65	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
67	66	nnzd 9594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
68	61, 67	zmulcld 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
69	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. Prime )
70		prmnn 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
72	68, 71	zmodcld 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. NN0 )
73	43, 72	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. NN0 )
74	73	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ZZ )
75		m1expcl 10817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. ZZ -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
77	76, 74	zmulcld 9601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ )
78	77, 71	zmodcld 10600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN0 )
79	78	nn0cnd 9450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. CC )
80		2cnd 9209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. CC )
81		2ap0 9229	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
82	81	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 # 0 )
83	79, 80, 82	divcanap2d 8965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
84	83	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) )
85		zq 9853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
86	8, 19, 85	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. QQ )
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
88	71	nngt0d 9180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < P )
89		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) )
90	43	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R mod P ) = ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P )
91		zq 9853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
92	68, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
93		modqabs2 10613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
94	92, 87, 88, 93	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
95	90, 94	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( R mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
96	76, 76, 74, 68, 87, 88, 89, 95	modqmul12d 10633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
97		zq 9853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ )
98	77, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ )
99		modqabs2 10613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
100	98, 87, 88, 99	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
101	76	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. CC )
102	61	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. CC )
103	67	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
104	101, 102, 103	mulassd 8196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) )
105	104	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
106	96, 100, 105	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
107	8, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
109	78	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ )
110	76, 61	zmulcld 9601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ )
111	110, 67	zmulcld 9601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
112		moddvds 12353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
113	108, 109, 111, 112	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
114	106, 113	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
115	71	nnnn0d 9448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN0 )
116	9, 24	zndvds 14656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN0 /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
117	115, 109, 111, 116	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
119	23, 25	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
120	119	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
121		zringmulr 14606	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
122		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
123	26, 121, 122	rhmmul 14171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
124	120, 110, 67, 123	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
125	84, 118, 124	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
126	125	mpteq2dva 4177	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
127	16, 22	fzfigd 10686	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
128	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
129	128, 110	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) )
130	128, 67	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) )
131		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
132		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
133	127, 129, 130, 131, 132	offval2 6246	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
134	126, 133	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
135	134	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
136	48, 57, 135	3eqtrd 2266	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
137		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
138	38	eleq2d 2299	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) ) )
139	138	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) ) )
140	129, 139	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) )
141	38	eleq2d 2299	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) ) )
142	141	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) ) )
143	130, 142	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) )
144		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) )
145		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) )
146	5, 137, 15, 16, 22, 140, 143, 144, 145	gsumfzmptfidmadd2 13920	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
147	13, 122	mgpplusgg 13930	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. CRing -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
148	12, 147	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
149	148	ofeqd 6232	. . . . . . 7 |- ( ph -> oF ( .r ` Y ) = oF ( +g ` G ) )
150	149	oveqd 6030	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
151	150	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
152	148	oveqd 6030	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
153	146, 151, 152	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
154	136, 153	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
155	154	oveq1d 6028	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
156	15	cmnmndd 13888	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
157		eqid 2229	. . . . . 6 |- (Unit ` Y ) = (Unit ` Y )
158	157, 13	unitsubm 14126	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> (Unit ` Y ) e. (SubMnd ` G ) )
159	23, 158	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (Unit ` Y ) e. (SubMnd ` G ) )
160		elfzle2 10256	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
161	160	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
162	64	nnred 9149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. RR )
163		prmuz2 12696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
164		uz2m1nn 9832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
165	69, 163, 164	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. NN )
166	165	nnred 9149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
167		2re 9206	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
168	167	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. RR )
169		2pos 9227	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
170	169	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < 2 )
171		lemuldiv2 9055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
172	162, 166, 168, 170, 171	syl112anc 1275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
173	161, 172	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) )
174	69, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
175		peano2zm 9510	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
176		fznn 10317	. . . . . . . . 9 |- ( ( P - 1 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
177	174, 175, 176	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
178	66, 173, 177	mpbir2and 950	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
179		fzm1ndvds 12410	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
180	71, 178, 179	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
181	9, 157, 24	znunit 14666	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN0 /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
182	115, 67, 181	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
183		coprm 12709	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( P gcd ( 2 x. x ) ) = 1 ) )
184	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> P e. ZZ )
185		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
186	184, 185	gcdcomd 12538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( P gcd ( 2 x. x ) ) = ( ( 2 x. x ) gcd P ) )
187	186	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( P gcd ( 2 x. x ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
188	183, 187	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
189	69, 67, 188	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
190	182, 189	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> -. P || ( 2 x. x ) ) )
191	180, 190	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) )
192	191	fmpttd 5798	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> (Unit ` Y ) )
193	156, 16, 22, 159, 192	gsumfzsubmcl 13918	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) )
194		eqid 2229	. . . 4 |- (/r ` Y ) = (/r ` Y )
195		eqid 2229	. . . 4 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
196	157, 194, 195	dvrid 14144	. . 3 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) ) -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
197	23, 193, 196	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
198	129	fmpttd 5798	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
199	38	feq3d 5468	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
200	198, 199	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
201	5, 6, 156, 16, 22, 200	gsumfzcl 13575	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` G ) )
202	201, 38	eleqtrrd 2309	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
203	27, 157, 194, 122	dvrcan3 14148	. . 3 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) ) -> ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
204	23, 202, 193, 203	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
205	155, 197, 204	3eqtr3rd 2271	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   \ cdif 3195   {csn 3667   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   o. ccom 4727   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   oFcof 6228   Fincfn 6904   RRcr 8024   0cc0 8025   1c1 8026   x. cmul 8030   < clt 8207   <_ cle 8208   - cmin 8343   -ucneg 8344   # cap 8754   / cdiv 8845   NNcn 9136   2c2 9187   NN0cn0 9395   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748   QQcq 9846   ...cfz 10236   mod cmo 10577   ^cexp 10793   || cdvds 12341   gcd cgcd 12517   Primecprime 12672   Basecbs 13075   +g cplusg 13153   .rcmulr 13154   0gc0g 13332   gsum_g cgsu 13333  SubMndcsubmnd 13534  CMndccmn 13864  mulGrpcmgp 13926   1rcur 13965   Ringcrg 14002   CRingccrg 14003  Unitcui 14093  /_rcdvr 14138   RingHom crh 14157  IDomncidom 14264  ℤ_ringczring 14597   ZRHomczrh 14618  ℤ/nℤczn 14620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145  ax-addf 8147  ax-mulf 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-tpos 6406  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-map 6814  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-gcd 12518  df-prm 12673  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-starv 13168  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-tset 13172  df-ple 13173  df-ds 13175  df-unif 13176  df-0g 13334  df-igsum 13335  df-topgen 13336  df-iimas 13378  df-qus 13379  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-mhm 13535  df-submnd 13536  df-grp 13579  df-minusg 13580  df-sbg 13581  df-mulg 13700  df-subg 13750  df-nsg 13751  df-eqg 13752  df-ghm 13821  df-cmn 13866  df-abl 13867  df-mgp 13927  df-rng 13939  df-ur 13966  df-srg 13970  df-ring 14004  df-cring 14005  df-oppr 14074  df-dvdsr 14095  df-unit 14096  df-invr 14128  df-dvr 14139  df-rhm 14159  df-nzr 14187  df-subrg 14226  df-domn 14266  df-idom 14267  df-lmod 14296  df-lssm 14360  df-lsp 14394  df-sra 14442  df-rgmod 14443  df-lidl 14476  df-rsp 14477  df-2idl 14507  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-fg 14556  df-metu 14557  df-cnfld 14564  df-zring 14598  df-zrh 14621  df-zn 14623

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15795