Theorem lgseisenlem3 15188

Description: Lemma for lgseisen 15190. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgseisen.4	|- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
lgseisen.5	|- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
lgseisen.6	|- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
lgseisen.7	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgseisen.8	|- G = (mulGrp ` Y )
lgseisen.9	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
lgseisenlem3	|- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, L   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, Q, y   x, Y   x, S

Allowed substitution hints:   R( x, y)   S( y)   G( y)   L( y)   M( x)   Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. x ) )
2	1	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( L ` ( 2 x. k ) ) = ( L ` ( 2 x. x ) ) )
3	2	cbvmptv 4125	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) )
4	3	oveq2i 5929	. . . . . 6 |- ( G gsumg ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
5		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
6		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
7		lgseisen.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
8	7	eldifad 3164	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Prime )
9		lgseisen.7	. . . . . . . . . . 11 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
10	9	znidom 14145	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> Y e. IDomn )
11	8, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. IDomn )
12	11	idomcringd 13774	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CRing )
13		lgseisen.8	. . . . . . . . 9 |- G = (mulGrp ` Y )
14	13	crngmgp 13500	. . . . . . . 8 |- ( Y e. CRing -> G e. CMnd )
15	12, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CMnd )
16		1zzd 9344	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
17		oddn2prm 12399	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || P )
18	7, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 2 || P )
19		prmz 12249	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
20		oddm1d2 12033	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
21	8, 19, 20	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
22	18, 21	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
23	11	idomringd 13775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. Ring )
24		lgseisen.9	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( ZRHom ` Y )
25	24	zrhrhm 14111	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
26		zringbas 14084	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
27		eqid 2193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
28	26, 27	rhmf 13659	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
29	23, 25, 28	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
30		2z 9345	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
31		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> k e. ZZ )
32		zmulcl 9370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
33	30, 31, 32	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
34		ffvelcdm 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) /\ ( 2 x. k ) e. ZZ ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) e. ( Base ` Y ) )
35	29, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) e. ( Base ` Y ) )
36	35	fmpttd 5713	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
37	13, 27	mgpbasg 13422	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. CRing -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
38	12, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
39	38	feq3d 5392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
40	36, 39	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
41		lgseisen.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
42		lgseisen.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P =/= Q )
43		lgseisen.4	. . . . . . . 8 |- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
44		lgseisen.5	. . . . . . . 8 |- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
45		lgseisen.6	. . . . . . . 8 |- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
46	7, 41, 42, 43, 44, 45	lgseisenlem2 15187	. . . . . . 7 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
47	5, 6, 15, 16, 22, 40, 46	gsumfzreidx 13407	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) )
48	4, 47	eqtr3id 2240	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) )
49	7, 41, 42, 43, 44	lgseisenlem1 15186	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
50	44	fmpt 5708	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
51	49, 50	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
52	44	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
53		eqidd 2194	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) )
54		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( k = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
55	54	fveq2d 5558	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) = ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) )
56	51, 52, 53, 55	fmptcof 5725	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) )
57	56	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) ) )
58	41	eldifad 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Q e. Prime )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. Prime )
60		prmz 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ZZ )
62		2nn 9143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. NN
63		elfznn 10120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
65		nnmulcl 9003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. NN /\ x e. NN ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
66	62, 64, 65	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
67	66	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
68	61, 67	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
69	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. Prime )
70		prmnn 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
72	68, 71	zmodcld 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. NN0 )
73	43, 72	eqeltrid 2280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. NN0 )
74	73	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ZZ )
75		m1expcl 10633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. ZZ -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
77	76, 74	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ )
78	77, 71	zmodcld 10416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN0 )
79	78	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. CC )
80		2cnd 9055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. CC )
81		2ap0 9075	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
82	81	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 # 0 )
83	79, 80, 82	divcanap2d 8811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
84	83	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) )
85		zq 9691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
86	8, 19, 85	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. QQ )
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
88	71	nngt0d 9026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < P )
89		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) )
90	43	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R mod P ) = ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P )
91		zq 9691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
92	68, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
93		modqabs2 10429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
94	92, 87, 88, 93	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
95	90, 94	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( R mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
96	76, 76, 74, 68, 87, 88, 89, 95	modqmul12d 10449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
97		zq 9691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ )
98	77, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ )
99		modqabs2 10429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
100	98, 87, 88, 99	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
101	76	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. CC )
102	61	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. CC )
103	67	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
104	101, 102, 103	mulassd 8043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) )
105	104	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
106	96, 100, 105	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
107	8, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
109	78	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ )
110	76, 61	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ )
111	110, 67	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
112		moddvds 11942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
113	108, 109, 111, 112	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
114	106, 113	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
115	71	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN0 )
116	9, 24	zndvds 14137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN0 /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
117	115, 109, 111, 116	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
119	23, 25	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
120	119	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
121		zringmulr 14087	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
122		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
123	26, 121, 122	rhmmul 13660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
124	120, 110, 67, 123	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
125	84, 118, 124	3eqtrd 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
126	125	mpteq2dva 4119	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
127	16, 22	fzfigd 10502	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
128	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
129	128, 110	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) )
130	128, 67	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) )
131		eqidd 2194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
132		eqidd 2194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
133	127, 129, 130, 131, 132	offval2 6146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
134	126, 133	eqtr4d 2229	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
135	134	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
136	48, 57, 135	3eqtrd 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
137		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
138	38	eleq2d 2263	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) ) )
139	138	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) ) )
140	129, 139	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) )
141	38	eleq2d 2263	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) ) )
142	141	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) ) )
143	130, 142	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) )
144		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) )
145		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) )
146	5, 137, 15, 16, 22, 140, 143, 144, 145	gsumfzmptfidmadd2 13410	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
147	13, 122	mgpplusgg 13420	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. CRing -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
148	12, 147	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
149	148	ofeqd 6132	. . . . . . 7 |- ( ph -> oF ( .r ` Y ) = oF ( +g ` G ) )
150	149	oveqd 5935	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
151	150	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
152	148	oveqd 5935	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
153	146, 151, 152	3eqtr4d 2236	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
154	136, 153	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
155	154	oveq1d 5933	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
156	15	cmnmndd 13378	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
157		eqid 2193	. . . . . 6 |- (Unit ` Y ) = (Unit ` Y )
158	157, 13	unitsubm 13615	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> (Unit ` Y ) e. (SubMnd ` G ) )
159	23, 158	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (Unit ` Y ) e. (SubMnd ` G ) )
160		elfzle2 10094	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
161	160	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
162	64	nnred 8995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. RR )
163		prmuz2 12269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
164		uz2m1nn 9670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
165	69, 163, 164	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. NN )
166	165	nnred 8995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
167		2re 9052	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
168	167	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. RR )
169		2pos 9073	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
170	169	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < 2 )
171		lemuldiv2 8901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
172	162, 166, 168, 170, 171	syl112anc 1253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
173	161, 172	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) )
174	69, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
175		peano2zm 9355	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
176		fznn 10155	. . . . . . . . 9 |- ( ( P - 1 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
177	174, 175, 176	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
178	66, 173, 177	mpbir2and 946	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
179		fzm1ndvds 11998	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
180	71, 178, 179	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
181	9, 157, 24	znunit 14147	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN0 /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
182	115, 67, 181	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
183		coprm 12282	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( P gcd ( 2 x. x ) ) = 1 ) )
184	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> P e. ZZ )
185		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
186	184, 185	gcdcomd 12111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( P gcd ( 2 x. x ) ) = ( ( 2 x. x ) gcd P ) )
187	186	eqeq1d 2202	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( P gcd ( 2 x. x ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
188	183, 187	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
189	69, 67, 188	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
190	182, 189	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> -. P || ( 2 x. x ) ) )
191	180, 190	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) )
192	191	fmpttd 5713	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> (Unit ` Y ) )
193	156, 16, 22, 159, 192	gsumfzsubmcl 13408	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) )
194		eqid 2193	. . . 4 |- (/r ` Y ) = (/r ` Y )
195		eqid 2193	. . . 4 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
196	157, 194, 195	dvrid 13633	. . 3 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) ) -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
197	23, 193, 196	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
198	129	fmpttd 5713	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
199	38	feq3d 5392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
200	198, 199	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
201	5, 6, 156, 16, 22, 200	gsumfzcl 13071	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` G ) )
202	201, 38	eleqtrrd 2273	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
203	27, 157, 194, 122	dvrcan3 13637	. . 3 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) ) -> ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
204	23, 202, 193, 203	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
205	155, 197, 204	3eqtr3rd 2235	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   \ cdif 3150   {csn 3618   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   o. ccom 4663   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   oFcof 6128   Fincfn 6794   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   -ucneg 8191   # cap 8600   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   QQcq 9684   ...cfz 10074   mod cmo 10393   ^cexp 10609   || cdvds 11930   gcd cgcd 12079   Primecprime 12245   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696   0gc0g 12867   gsum_g cgsu 12868  SubMndcsubmnd 13030  CMndccmn 13354  mulGrpcmgp 13416   1rcur 13455   Ringcrg 13492   CRingccrg 13493  Unitcui 13583  /_rcdvr 13627   RingHom crh 13646  IDomncidom 13753  ℤ_ringczring 14078   ZRHomczrh 14099  ℤ/nℤczn 14101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-map 6704  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-ple 12715  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-submnd 13032  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-mulg 13190  df-subg 13240  df-nsg 13241  df-eqg 13242  df-ghm 13311  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-cring 13495  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-unit 13586  df-invr 13617  df-dvr 13628  df-rhm 13648  df-nzr 13676  df-subrg 13715  df-domn 13755  df-idom 13756  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-rsp 13966  df-2idl 13996  df-icnfld 14048  df-zring 14079  df-zrh 14102  df-zn 14104

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15189