Theorem lgseisenlem3 15599

Description: Lemma for lgseisen 15601. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgseisen.4	|- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
lgseisen.5	|- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
lgseisen.6	|- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
lgseisen.7	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgseisen.8	|- G = (mulGrp ` Y )
lgseisen.9	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
lgseisenlem3	|- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, L   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, Q, y   x, Y   x, S

Allowed substitution hints:   R( x, y)   S( y)   G( y)   L( y)   M( x)   Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5962	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. x ) )
2	1	fveq2d 5590	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( L ` ( 2 x. k ) ) = ( L ` ( 2 x. x ) ) )
3	2	cbvmptv 4145	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) )
4	3	oveq2i 5965	. . . . . 6 |- ( G gsumg ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
5		eqid 2206	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
6		eqid 2206	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
7		lgseisen.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
8	7	eldifad 3179	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Prime )
9		lgseisen.7	. . . . . . . . . . 11 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
10	9	znidom 14469	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> Y e. IDomn )
11	8, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. IDomn )
12	11	idomcringd 14090	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CRing )
13		lgseisen.8	. . . . . . . . 9 |- G = (mulGrp ` Y )
14	13	crngmgp 13816	. . . . . . . 8 |- ( Y e. CRing -> G e. CMnd )
15	12, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CMnd )
16		1zzd 9412	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
17		oddn2prm 12634	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || P )
18	7, 17	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 2 || P )
19		prmz 12483	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
20		oddm1d2 12253	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
21	8, 19, 20	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
22	18, 21	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
23	11	idomringd 14091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. Ring )
24		lgseisen.9	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( ZRHom ` Y )
25	24	zrhrhm 14435	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
26		zringbas 14408	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
27		eqid 2206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
28	26, 27	rhmf 13975	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
29	23, 25, 28	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
30		2z 9413	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
31		elfzelz 10160	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> k e. ZZ )
32		zmulcl 9439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
33	30, 31, 32	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
34		ffvelcdm 5723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) /\ ( 2 x. k ) e. ZZ ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) e. ( Base ` Y ) )
35	29, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) e. ( Base ` Y ) )
36	35	fmpttd 5745	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
37	13, 27	mgpbasg 13738	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. CRing -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
38	12, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
39	38	feq3d 5421	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
40	36, 39	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
41		lgseisen.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
42		lgseisen.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P =/= Q )
43		lgseisen.4	. . . . . . . 8 |- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
44		lgseisen.5	. . . . . . . 8 |- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
45		lgseisen.6	. . . . . . . 8 |- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
46	7, 41, 42, 43, 44, 45	lgseisenlem2 15598	. . . . . . 7 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
47	5, 6, 15, 16, 22, 40, 46	gsumfzreidx 13723	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) )
48	4, 47	eqtr3id 2253	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) )
49	7, 41, 42, 43, 44	lgseisenlem1 15597	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
50	44	fmpt 5740	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
51	49, 50	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
52	44	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
53		eqidd 2207	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) )
54		oveq2 5962	. . . . . . . 8 |- ( k = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
55	54	fveq2d 5590	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) = ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) )
56	51, 52, 53, 55	fmptcof 5757	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) )
57	56	oveq2d 5970	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) ) )
58	41	eldifad 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Q e. Prime )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. Prime )
60		prmz 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ZZ )
62		2nn 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. NN
63		elfznn 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
65		nnmulcl 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. NN /\ x e. NN ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
66	62, 64, 65	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
67	66	nnzd 9507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
68	61, 67	zmulcld 9514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
69	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. Prime )
70		prmnn 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
72	68, 71	zmodcld 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. NN0 )
73	43, 72	eqeltrid 2293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. NN0 )
74	73	nn0zd 9506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ZZ )
75		m1expcl 10720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. ZZ -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
77	76, 74	zmulcld 9514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ )
78	77, 71	zmodcld 10503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN0 )
79	78	nn0cnd 9363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. CC )
80		2cnd 9122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. CC )
81		2ap0 9142	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
82	81	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 # 0 )
83	79, 80, 82	divcanap2d 8878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
84	83	fveq2d 5590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) )
85		zq 9760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
86	8, 19, 85	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. QQ )
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
88	71	nngt0d 9093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < P )
89		eqidd 2207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) )
90	43	oveq1i 5964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R mod P ) = ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P )
91		zq 9760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
92	68, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
93		modqabs2 10516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
94	92, 87, 88, 93	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
95	90, 94	eqtrid 2251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( R mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
96	76, 76, 74, 68, 87, 88, 89, 95	modqmul12d 10536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
97		zq 9760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ )
98	77, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ )
99		modqabs2 10516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
100	98, 87, 88, 99	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
101	76	zcnd 9509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. CC )
102	61	zcnd 9509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. CC )
103	67	zcnd 9509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
104	101, 102, 103	mulassd 8109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) )
105	104	oveq1d 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
106	96, 100, 105	3eqtr4d 2249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
107	8, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
109	78	nn0zd 9506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ )
110	76, 61	zmulcld 9514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ )
111	110, 67	zmulcld 9514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
112		moddvds 12160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
113	108, 109, 111, 112	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
114	106, 113	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
115	71	nnnn0d 9361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN0 )
116	9, 24	zndvds 14461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN0 /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
117	115, 109, 111, 116	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
118	114, 117	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
119	23, 25	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
120	119	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
121		zringmulr 14411	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
122		eqid 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
123	26, 121, 122	rhmmul 13976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
124	120, 110, 67, 123	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
125	84, 118, 124	3eqtrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
126	125	mpteq2dva 4139	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
127	16, 22	fzfigd 10589	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
128	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
129	128, 110	ffvelcdmd 5726	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) )
130	128, 67	ffvelcdmd 5726	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) )
131		eqidd 2207	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
132		eqidd 2207	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
133	127, 129, 130, 131, 132	offval2 6184	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
134	126, 133	eqtr4d 2242	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
135	134	oveq2d 5970	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
136	48, 57, 135	3eqtrd 2243	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
137		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
138	38	eleq2d 2276	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) ) )
139	138	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) ) )
140	129, 139	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) )
141	38	eleq2d 2276	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) ) )
142	141	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) ) )
143	130, 142	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) )
144		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) )
145		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) )
146	5, 137, 15, 16, 22, 140, 143, 144, 145	gsumfzmptfidmadd2 13726	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
147	13, 122	mgpplusgg 13736	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. CRing -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
148	12, 147	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
149	148	ofeqd 6170	. . . . . . 7 |- ( ph -> oF ( .r ` Y ) = oF ( +g ` G ) )
150	149	oveqd 5971	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
151	150	oveq2d 5970	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
152	148	oveqd 5971	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
153	146, 151, 152	3eqtr4d 2249	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
154	136, 153	eqtrd 2239	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
155	154	oveq1d 5969	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
156	15	cmnmndd 13694	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
157		eqid 2206	. . . . . 6 |- (Unit ` Y ) = (Unit ` Y )
158	157, 13	unitsubm 13931	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> (Unit ` Y ) e. (SubMnd ` G ) )
159	23, 158	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (Unit ` Y ) e. (SubMnd ` G ) )
160		elfzle2 10163	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
161	160	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
162	64	nnred 9062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. RR )
163		prmuz2 12503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
164		uz2m1nn 9739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
165	69, 163, 164	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. NN )
166	165	nnred 9062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
167		2re 9119	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
168	167	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. RR )
169		2pos 9140	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
170	169	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < 2 )
171		lemuldiv2 8968	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
172	162, 166, 168, 170, 171	syl112anc 1254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
173	161, 172	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) )
174	69, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
175		peano2zm 9423	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
176		fznn 10224	. . . . . . . . 9 |- ( ( P - 1 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
177	174, 175, 176	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
178	66, 173, 177	mpbir2and 947	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
179		fzm1ndvds 12217	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
180	71, 178, 179	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
181	9, 157, 24	znunit 14471	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN0 /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
182	115, 67, 181	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
183		coprm 12516	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( P gcd ( 2 x. x ) ) = 1 ) )
184	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> P e. ZZ )
185		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
186	184, 185	gcdcomd 12345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( P gcd ( 2 x. x ) ) = ( ( 2 x. x ) gcd P ) )
187	186	eqeq1d 2215	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( P gcd ( 2 x. x ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
188	183, 187	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
189	69, 67, 188	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
190	182, 189	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> -. P || ( 2 x. x ) ) )
191	180, 190	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) )
192	191	fmpttd 5745	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> (Unit ` Y ) )
193	156, 16, 22, 159, 192	gsumfzsubmcl 13724	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) )
194		eqid 2206	. . . 4 |- (/r ` Y ) = (/r ` Y )
195		eqid 2206	. . . 4 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
196	157, 194, 195	dvrid 13949	. . 3 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) ) -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
197	23, 193, 196	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
198	129	fmpttd 5745	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
199	38	feq3d 5421	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
200	198, 199	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
201	5, 6, 156, 16, 22, 200	gsumfzcl 13381	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` G ) )
202	201, 38	eleqtrrd 2286	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
203	27, 157, 194, 122	dvrcan3 13953	. . 3 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) ) -> ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
204	23, 202, 193, 203	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
205	155, 197, 204	3eqtr3rd 2248	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   A.wral 2485   \ cdif 3165   {csn 3635   class class class wbr 4048   |-> cmpt 4110   o. ccom 4684   -->wf 5273   ` cfv 5277  (class class class)co 5954   oFcof 6166   Fincfn 6837   RRcr 7937   0cc0 7938   1c1 7939   x. cmul 7943   < clt 8120   <_ cle 8121   - cmin 8256   -ucneg 8257   # cap 8667   / cdiv 8758   NNcn 9049   2c2 9100   NN0cn0 9308   ZZcz 9385   ZZ>=cuz 9661   QQcq 9753   ...cfz 10143   mod cmo 10480   ^cexp 10696   || cdvds 12148   gcd cgcd 12324   Primecprime 12479   Basecbs 12882   +g cplusg 12959   .rcmulr 12960   0gc0g 13138   gsum_g cgsu 13139  SubMndcsubmnd 13340  CMndccmn 13670  mulGrpcmgp 13732   1rcur 13771   Ringcrg 13808   CRingccrg 13809  Unitcui 13899  /_rcdvr 13943   RingHom crh 13962  IDomncidom 14069  ℤ_ringczring 14402   ZRHomczrh 14423  ℤ/nℤczn 14425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058  ax-addf 8060  ax-mulf 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-tp 3643  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-of 6168  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-tpos 6341  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-2o 6513  df-oadd 6516  df-er 6630  df-ec 6632  df-qs 6636  df-map 6747  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-sup 7098  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-9 9115  df-n0 9309  df-z 9386  df-dec 9518  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-dvds 12149  df-gcd 12325  df-prm 12480  df-struct 12884  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-starv 12974  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-ip 12977  df-tset 12978  df-ple 12979  df-ds 12981  df-unif 12982  df-0g 13140  df-igsum 13141  df-topgen 13142  df-iimas 13184  df-qus 13185  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-mhm 13341  df-submnd 13342  df-grp 13385  df-minusg 13386  df-sbg 13387  df-mulg 13506  df-subg 13556  df-nsg 13557  df-eqg 13558  df-ghm 13627  df-cmn 13672  df-abl 13673  df-mgp 13733  df-rng 13745  df-ur 13772  df-srg 13776  df-ring 13810  df-cring 13811  df-oppr 13880  df-dvdsr 13901  df-unit 13902  df-invr 13933  df-dvr 13944  df-rhm 13964  df-nzr 13992  df-subrg 14031  df-domn 14071  df-idom 14072  df-lmod 14101  df-lssm 14165  df-lsp 14199  df-sra 14247  df-rgmod 14248  df-lidl 14281  df-rsp 14282  df-2idl 14312  df-bl 14358  df-mopn 14359  df-fg 14361  df-metu 14362  df-cnfld 14369  df-zring 14403  df-zrh 14426  df-zn 14428

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15600