Theorem lgseisenlem3 16408

Description: Lemma for lgseisen 16410. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgseisen.4	|- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
lgseisen.5	|- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
lgseisen.6	|- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
lgseisen.7	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgseisen.8	|- G = (mulGrp ` Y )
lgseisen.9	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
lgseisenlem3	|- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, L   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, Q, y   x, Y   x, S

Allowed substitution hints:   R( x, y)   S( y)   G( y)   L( y)   M( x)   Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6096	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. x ) )
2	1	fveq2d 5702	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( L ` ( 2 x. k ) ) = ( L ` ( 2 x. x ) ) )
3	2	cbvmptv 4229	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) )
4	3	oveq2i 6099	. . . . . 6 |- ( G gsumg ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
5		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
6		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
7		lgseisen.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
8	7	eldifad 3231	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Prime )
9		lgseisen.7	. . . . . . . . . . 11 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
10	9	znidom 15102	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> Y e. IDomn )
11	8, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. IDomn )
12	11	idomcringd 14697	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CRing )
13		lgseisen.8	. . . . . . . . 9 |- G = (mulGrp ` Y )
14	13	crngmgp 14416	. . . . . . . 8 |- ( Y e. CRing -> G e. CMnd )
15	12, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CMnd )
16		1zzd 9683	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
17		oddn2prm 13070	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. 2 || P )
18	7, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 2 || P )
19		prmz 12915	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
20		oddm1d2 12685	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
21	8, 19, 20	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
22	18, 21	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
23	16, 22	fzfigd 10890	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
24	11	idomringd 14698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. Ring )
25		lgseisen.9	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( ZRHom ` Y )
26	25	zrhrhm 15068	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
27		zringbas 15041	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
28		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
29	27, 28	rhmf 14580	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. (ℤring RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
30	24, 26, 29	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
31		2z 9684	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
32		elfzelz 10446	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> k e. ZZ )
33		zmulcl 9710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
34	31, 32, 33	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
35		ffvelcdm 5844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Y ) /\ ( 2 x. k ) e. ZZ ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) e. ( Base ` Y ) )
36	30, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) e. ( Base ` Y ) )
37	36	fmpttd 5866	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
38	13, 28	mgpbasg 14332	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. CRing -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
39	12, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` G ) )
40	39	feq3d 5525	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
41	37, 40	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
42		lgseisen.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
43		lgseisen.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P =/= Q )
44		lgseisen.4	. . . . . . . 8 |- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
45		lgseisen.5	. . . . . . . 8 |- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
46		lgseisen.6	. . . . . . . 8 |- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
47	7, 42, 43, 44, 45, 46	lgseisenlem2 16407	. . . . . . 7 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
48	5, 6, 15, 23, 41, 47	gsumf1ofi 14251	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) )
49	4, 48	eqtr3id 2285	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) )
50	7, 42, 43, 44, 45	lgseisenlem1 16406	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
51	45	fmpt 5861	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
52	50, 51	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
53	45	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
54		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) = ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) )
55		oveq2 6096	. . . . . . . 8 |- ( k = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
56	55	fveq2d 5702	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> ( L ` ( 2 x. k ) ) = ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) )
57	52, 53, 54, 56	fmptcof 5878	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) )
58	57	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( k e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. k ) ) ) o. M ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) ) )
59	42	eldifad 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Q e. Prime )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. Prime )
61		prmz 12915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
62	60, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ZZ )
63		2nn 9478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. NN
64		elfznn 10478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
66		nnmulcl 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. NN /\ x e. NN ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
67	63, 65, 66	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
68	67	nnzd 9779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
69	62, 68	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
70	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. Prime )
71		prmnn 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
73	69, 72	zmodcld 10804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. NN0 )
74	44, 73	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. NN0 )
75	74	nn0zd 9778	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ZZ )
76		m1expcl 11021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. ZZ -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
78	77, 75	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ )
79	78, 72	zmodcld 10804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN0 )
80	79	nn0cnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. CC )
81		2cnd 9387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. CC )
82		2ap0 9407	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 # 0 )
84	80, 81, 83	divcanap2d 9131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
85	84	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) )
86		zq 10043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
87	8, 19, 86	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. QQ )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
89	72	nngt0d 9358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < P )
90		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) )
91	44	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R mod P ) = ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P )
92		zq 10043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
93	69, 92	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
94		modqabs2 10817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
95	93, 88, 89, 94	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
96	91, 95	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( R mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
97	77, 77, 75, 69, 88, 89, 90, 96	modqmul12d 10837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
98		zq 10043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ )
99	78, 98	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ )
100		modqabs2 10817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
101	99, 88, 89, 100	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
102	77	zcnd 9781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. CC )
103	62	zcnd 9781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. CC )
104	68	zcnd 9781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
105	102, 103, 104	mulassd 8356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) )
106	105	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
107	97, 101, 106	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
108	8, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
110	79	nn0zd 9778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ )
111	77, 62	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ )
112	111, 68	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
113		moddvds 12592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
114	109, 110, 112, 113	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
115	107, 114	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
116	72	nnnn0d 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN0 )
117	9, 25	zndvds 15094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. NN0 /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
118	116, 110, 112, 117	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) <-> P || ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) - ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
119	115, 118	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) = ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
120	24, 26	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L e. (ℤring RingHom Y ) )
122		zringmulr 15044	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
123		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
124	27, 122, 123	rhmmul 14581	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) e. ZZ /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
125	121, 111, 68, 124	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
126	85, 119, 125	3eqtrd 2275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) = ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
127	126	mpteq2dva 4223	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
128	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
129	128, 111	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) )
130	128, 68	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) )
131		eqidd 2239	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) )
132		eqidd 2239	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) )
133	23, 129, 130, 131, 132	offval2 6322	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ( .r ` Y ) ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
134	127, 133	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
135	134	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
136	49, 58, 135	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
137		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
138	39	eleq2d 2308	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) ) )
139	138	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) ) )
140	129, 139	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) e. ( Base ` G ) )
141	39	eleq2d 2308	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) ) )
142	141	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` Y ) <-> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) ) )
143	130, 142	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. ( Base ` G ) )
144		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) )
145		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) )
146	5, 137, 15, 23, 140, 143, 144, 145	gsummptfidmadd2 14253	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
147	13, 123	mgpplusgg 14329	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. CRing -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
148	12, 147	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( .r ` Y ) = ( +g ` G ) )
149	148	ofeqd 6307	. . . . . . 7 |- ( ph -> oF ( .r ` Y ) = oF ( +g ` G ) )
150	149	oveqd 6105	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) )
151	150	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( +g ` G ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
152	148	oveqd 6105	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
153	146, 151, 152	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) oF ( .r ` Y ) ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
154	136, 153	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
155	154	oveq1d 6103	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
156		eqid 2238	. . . . . 6 |- (Unit ` Y ) = (Unit ` Y )
157	156, 13	unitsubm 14536	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> (Unit ` Y ) e. (SubMnd ` G ) )
158	24, 157	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (Unit ` Y ) e. (SubMnd ` G ) )
159		elfzle2 10450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
160	159	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
161	65	nnred 9327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. RR )
162		prmuz2 12936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
163		uz2m1nn 10022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
164	70, 162, 163	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. NN )
165	164	nnred 9327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
166		2re 9384	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
167	166	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. RR )
168		2pos 9405	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
169	168	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < 2 )
170		lemuldiv2 9221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
171	161, 165, 167, 169, 170	syl112anc 1282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
172	160, 171	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) )
173	70, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
174		peano2zm 9694	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
175		fznn 10514	. . . . . . . . 9 |- ( ( P - 1 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
176	173, 174, 175	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
177	67, 172, 176	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
178		fzm1ndvds 12649	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
179	72, 177, 178	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
180	9, 156, 25	znunit 15104	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN0 /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
181	116, 68, 180	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
182		coprm 12949	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( P gcd ( 2 x. x ) ) = 1 ) )
183	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> P e. ZZ )
184		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
185	183, 184	gcdcomd 12777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( P gcd ( 2 x. x ) ) = ( ( 2 x. x ) gcd P ) )
186	185	eqeq1d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( P gcd ( 2 x. x ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
187	182, 186	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
188	70, 68, 187	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -. P || ( 2 x. x ) <-> ( ( 2 x. x ) gcd P ) = 1 ) )
189	181, 188	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) <-> -. P || ( 2 x. x ) ) )
190	179, 189	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( L ` ( 2 x. x ) ) e. (Unit ` Y ) )
191	190	fmpttd 5866	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> (Unit ` Y ) )
192	6, 15, 23, 158, 191	gsumsubmclfi 14254	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) )
193		eqid 2238	. . . 4 |- (/r ` Y ) = (/r ` Y )
194		eqid 2238	. . . 4 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
195	156, 193, 194	dvrid 14554	. . 3 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) ) -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
196	24, 192, 195	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )
197	129	fmpttd 5866	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) )
198	39	feq3d 5525	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` Y ) <-> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) ) )
199	197, 198	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( Base ` G ) )
200	5, 6, 15, 23, 199	gsumclfi 14250	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` G ) )
201	200, 39	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
202	28, 156, 193, 123	dvrcan3 14558	. . 3 |- ( ( Y e. Ring /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) e. (Unit ` Y ) ) -> ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
203	24, 201, 192, 202	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) ( .r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) (/r ` Y ) ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) )
204	155, 196, 203	3eqtr3rd 2280	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( L ` ( ( -u 1 ^ R ) x. Q ) ) ) ) = ( 1r ` Y ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   \ cdif 3217   {csn 3709   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   o. ccom 4780   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   Fincfn 7027   RRcr 8185   0cc0 8186   1c1 8187   x. cmul 8191   < clt 8367   <_ cle 8368   - cmin 8505   -ucneg 8506   # cap 8918   / cdiv 9011   NNcn 9314   2c2 9365   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   QQcq 10036   ...cfz 10429   mod cmo 10781   ^cexp 10997   || cdvds 12580   gcd cgcd 12756   Primecprime 12911   Basecbs 13411   +g cplusg 13491   .rcmulr 13492   0gc0g 13670  SubMndcsubmnd 13825  CMndccmn 14178   gsum_g cgsu 14241  mulGrpcmgp 14325   1rcur 14370   Ringcrg 14408   CRingccrg 14409  Unitcui 14503  /_rcdvr 14548   RingHom crh 14567  IDomncidom 14675  ℤ_ringczring 15035   ZRHomczrh 15056  ℤ/nℤczn 15058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-dvds 12581  df-gcd 12757  df-prm 12912  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-starv 13506  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-unif 13514  df-0g 13672  df-gzsum 13673  df-topgen 13674  df-iimas 13684  df-qus 13685  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-mhm 13826  df-submnd 13827  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-mulg 13983  df-subg 14033  df-nsg 14034  df-eqg 14035  df-ghm 14104  df-cmn 14180  df-abl 14181  df-gsumfi 14242  df-mgp 14326  df-rng 14340  df-ur 14371  df-srg 14376  df-ring 14410  df-cring 14411  df-oppr 14483  df-dvdsr 14505  df-unit 14506  df-invr 14538  df-dvr 14549  df-rhm 14569  df-nzr 14597  df-subrg 14637  df-domn 14677  df-idom 14678  df-lmod 14735  df-lssm 14800  df-lsp 14834  df-sra 14882  df-rgmod 14883  df-lidl 14916  df-rsp 14917  df-2idl 14947  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-fg 14996  df-metu 14997  df-cnfld 15004  df-zring 15036  df-zrh 15059  df-zn 15061

This theorem is used by:  lgseisenlem4  16409