Theorem unitcld 14524

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
unitcld.2	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
unitcld.r	|- ( ph -> R e. SRing )
unitcld.x	|- ( ph -> X e. U )

Assertion

Ref	Expression
unitcld	|- ( ph -> X e. B )

Proof of Theorem unitcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
2		eqidd 2239	. 2 |- ( ph -> ( ||r ` R ) = ( ||r ` R ) )
3		unitcld.r	. 2 |- ( ph -> R e. SRing )
4		unitcld.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
5		unitcld.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
6		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` R ) )
7		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> (oppr ` R ) = (oppr ` R ) )
8		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( ||r ` (oppr ` R ) ) = ( ||r ` (oppr ` R ) ) )
9	5, 6, 2, 7, 8, 3	isunitd 14522	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) /\ X ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) ) ) )
10	4, 9	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) /\ X ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) ) )
11	10	simpld 112	. 2 |- ( ph -> X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) )
12	1, 2, 3, 11	dvdsrcld 14513	1 |- ( ph -> X e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   Basecbs 13410   1rcur 14369  SRingcsrg 14374  opp_rcoppr 14481   ||_rcdsr 14501  Unitcui 14502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mgp 14325  df-srg 14375  df-dvdsr 14504  df-unit 14505

This theorem is used by:  unitssd  14525  unitmulcl  14529  unitgrp  14532  ringinvcl  14541  unitnegcl  14546  dvrvald  14550  unitdvcl  14552  dvrid  14553  dvrcan1  14556  dvrcan3  14557  dvreq1  14558  dvrdir  14559  elrhmunit  14593  subrguss  14653  subrginv  14654  subrgunit  14656  unitrrg  14685  ringunitap  14702  aprnzr  14708  drngunitap  14717