ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unitcld Unicode version

Theorem unitcld 13208
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcld.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
unitcld.2  |-  ( ph  ->  U  =  (Unit `  R ) )
unitcld.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
unitcld.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
Assertion
Ref Expression
unitcld  |-  ( ph  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem unitcld
StepHypRef Expression
1 unitcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
2 eqidd 2178 . 2  |-  ( ph  ->  ( ||r `
 R )  =  ( ||r `
 R ) )
3 unitcld.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
4 unitcld.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
5 unitcld.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  (Unit `  R ) )
6 eqidd 2178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  R ) )
7 eqidd 2178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppr
`  R )  =  (oppr
`  R ) )
8 eqidd 2178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ||r `
 (oppr
`  R ) )  =  ( ||r `
 (oppr
`  R ) ) )
95, 6, 2, 7, 8, 3isunitd 13206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( X ( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  /\  X ( ||r `  (oppr `  R
) ) ( 1r
`  R ) ) ) )
104, 9mpbid 147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( ||r `  R
) ( 1r `  R )  /\  X
( ||r `
 (oppr
`  R ) ) ( 1r `  R
) ) )
1110simpld 112 . 2  |-  ( ph  ->  X ( ||r `
 R ) ( 1r `  R ) )
121, 2, 3, 11dvdsrcld 13197 1  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4002   ` cfv 5215   Basecbs 12454   1rcur 13073  SRingcsrg 13077  opprcoppr 13170   ||rcdsr 13186  Unitcui 13187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-mgp 13062  df-srg 13078  df-dvdsr 13189  df-unit 13190
This theorem is referenced by:  unitssd  13209  unitmulcl  13213  unitgrp  13216  ringinvcl  13225  unitnegcl  13230  dvrvald  13234  unitdvcl  13236  dvrid  13237  dvrcan1  13240  dvrcan3  13241  dvreq1  13242  dvrdir  13243  subrguss  13295  subrginv  13296  subrgunit  13298
  Copyright terms: Public domain W3C validator