Theorem unitcld 13208

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
unitcld.2	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
unitcld.r	|- ( ph -> R e. SRing )
unitcld.x	|- ( ph -> X e. U )

Assertion

Ref	Expression
unitcld	|- ( ph -> X e. B )

Proof of Theorem unitcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
2		eqidd 2178	. 2 |- ( ph -> ( ||r ` R ) = ( ||r ` R ) )
3		unitcld.r	. 2 |- ( ph -> R e. SRing )
4		unitcld.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
5		unitcld.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
6		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` R ) )
7		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( ph -> (oppr ` R ) = (oppr ` R ) )
8		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( ph -> ( ||r ` (oppr ` R ) ) = ( ||r ` (oppr ` R ) ) )
9	5, 6, 2, 7, 8, 3	isunitd 13206	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) /\ X ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) ) ) )
10	4, 9	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) /\ X ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) ) )
11	10	simpld 112	. 2 |- ( ph -> X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) )
12	1, 2, 3, 11	dvdsrcld 13197	1 |- ( ph -> X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4002   ` cfv 5215   Basecbs 12454   1rcur 13073  SRingcsrg 13077  opp_rcoppr 13170   ||_rcdsr 13186  Unitcui 13187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-mgp 13062  df-srg 13078  df-dvdsr 13189  df-unit 13190

This theorem is referenced by:  unitssd  13209  unitmulcl  13213  unitgrp  13216  ringinvcl  13225  unitnegcl  13230  dvrvald  13234  unitdvcl  13236  dvrid  13237  dvrcan1  13240  dvrcan3  13241  dvreq1  13242  dvrdir  13243  subrguss  13295  subrginv  13296  subrgunit  13298