Theorem unitcld 14391

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
unitcld.2	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
unitcld.r	|- ( ph -> R e. SRing )
unitcld.x	|- ( ph -> X e. U )

Assertion

Ref	Expression
unitcld	|- ( ph -> X e. B )

Proof of Theorem unitcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
2		eqidd 2239	. 2 |- ( ph -> ( ||r ` R ) = ( ||r ` R ) )
3		unitcld.r	. 2 |- ( ph -> R e. SRing )
4		unitcld.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
5		unitcld.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
6		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` R ) )
7		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> (oppr ` R ) = (oppr ` R ) )
8		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( ||r ` (oppr ` R ) ) = ( ||r ` (oppr ` R ) ) )
9	5, 6, 2, 7, 8, 3	isunitd 14389	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) /\ X ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) ) ) )
10	4, 9	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) /\ X ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) ) )
11	10	simpld 112	. 2 |- ( ph -> X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) )
12	1, 2, 3, 11	dvdsrcld 14380	1 |- ( ph -> X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375   Basecbs 13333   1rcur 14240  SRingcsrg 14244  opp_rcoppr 14348   ||_rcdsr 14368  Unitcui 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-mgp 14198  df-srg 14245  df-dvdsr 14371  df-unit 14372

This theorem is referenced by:  unitssd  14392  unitmulcl  14396  unitgrp  14399  ringinvcl  14408  unitnegcl  14413  dvrvald  14417  unitdvcl  14419  dvrid  14420  dvrcan1  14423  dvrcan3  14424  dvreq1  14425  dvrdir  14426  elrhmunit  14460  subrguss  14520  subrginv  14521  subrgunit  14523  unitrrg  14552  ringunitap  14569  aprnzr  14575  drngunitap  14584