ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unitcld Unicode version

Theorem unitcld 13277
Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitcld.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
unitcld.2  |-  ( ph  ->  U  =  (Unit `  R ) )
unitcld.r  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
unitcld.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
Assertion
Ref Expression
unitcld  |-  ( ph  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem unitcld
StepHypRef Expression
1 unitcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
2 eqidd 2178 . 2  |-  ( ph  ->  ( ||r `
 R )  =  ( ||r `
 R ) )
3 unitcld.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e. SRing )
4 unitcld.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
5 unitcld.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  (Unit `  R ) )
6 eqidd 2178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  R ) )
7 eqidd 2178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (oppr
`  R )  =  (oppr
`  R ) )
8 eqidd 2178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ||r `
 (oppr
`  R ) )  =  ( ||r `
 (oppr
`  R ) ) )
95, 6, 2, 7, 8, 3isunitd 13275 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( X ( ||r `
 R ) ( 1r `  R )  /\  X ( ||r `  (oppr `  R
) ) ( 1r
`  R ) ) ) )
104, 9mpbid 147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( ||r `  R
) ( 1r `  R )  /\  X
( ||r `
 (oppr
`  R ) ) ( 1r `  R
) ) )
1110simpld 112 . 2  |-  ( ph  ->  X ( ||r `
 R ) ( 1r `  R ) )
121, 2, 3, 11dvdsrcld 13266 1  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4004   ` cfv 5217   Basecbs 12462   1rcur 13142  SRingcsrg 13146  opprcoppr 13239   ||rcdsr 13255  Unitcui 13256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-mgp 13131  df-srg 13147  df-dvdsr 13258  df-unit 13259
This theorem is referenced by:  unitssd  13278  unitmulcl  13282  unitgrp  13285  ringinvcl  13294  unitnegcl  13299  dvrvald  13303  unitdvcl  13305  dvrid  13306  dvrcan1  13309  dvrcan3  13310  dvreq1  13311  dvrdir  13312  subrguss  13357  subrginv  13358  subrgunit  13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator