Theorem unitcld 14124

Description: A unit is an element of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
unitcld.2	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
unitcld.r	|- ( ph -> R e. SRing )
unitcld.x	|- ( ph -> X e. U )

Assertion

Ref	Expression
unitcld	|- ( ph -> X e. B )

Proof of Theorem unitcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
2		eqidd 2232	. 2 |- ( ph -> ( ||r ` R ) = ( ||r ` R ) )
3		unitcld.r	. 2 |- ( ph -> R e. SRing )
4		unitcld.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
5		unitcld.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
6		eqidd 2232	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` R ) )
7		eqidd 2232	. . . . 5 |- ( ph -> (oppr ` R ) = (oppr ` R ) )
8		eqidd 2232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ||r ` (oppr ` R ) ) = ( ||r ` (oppr ` R ) ) )
9	5, 6, 2, 7, 8, 3	isunitd 14122	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) /\ X ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) ) ) )
10	4, 9	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) /\ X ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) ) )
11	10	simpld 112	. 2 |- ( ph -> X ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) )
12	1, 2, 3, 11	dvdsrcld 14113	1 |- ( ph -> X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   Basecbs 13083   1rcur 13974  SRingcsrg 13978  opp_rcoppr 14082   ||_rcdsr 14101  Unitcui 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-sets 13090  df-plusg 13174  df-mulr 13175  df-0g 13342  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-mgp 13936  df-srg 13979  df-dvdsr 14104  df-unit 14105

This theorem is referenced by:  unitssd  14125  unitmulcl  14129  unitgrp  14132  ringinvcl  14141  unitnegcl  14146  dvrvald  14150  unitdvcl  14152  dvrid  14153  dvrcan1  14156  dvrcan3  14157  dvreq1  14158  dvrdir  14159  elrhmunit  14193  subrguss  14252  subrginv  14253  subrgunit  14255  unitrrg  14283