Theorem dvreq1 13904

Description: Equality in terms of ratio equal to ring unity. (diveqap1 8778 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvreq1.b	|- B = ( Base ` R )
dvreq1.o	|- U = (Unit ` R )
dvreq1.d	|- ./ = (/r ` R )
dvreq1.t	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvreq1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) = .1. <-> X = Y ) )

Proof of Theorem dvreq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5951	. . 3 |- ( ( X ./ Y ) = .1. -> ( ( X ./ Y ) ( .r ` R ) Y ) = ( .1. ( .r ` R ) Y ) )
2		dvreq1.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
3		dvreq1.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
4		dvreq1.d	. . . . 5 |- ./ = (/r ` R )
5		eqid 2205	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
6	2, 3, 4, 5	dvrcan1 13902	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) ( .r ` R ) Y ) = X )
7	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
8	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
9		ringsrg 13809	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
11		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> Y e. U )
12	7, 8, 10, 11	unitcld 13870	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> Y e. B )
13		dvreq1.t	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
14	2, 5, 13	ringlidm 13785	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( .1. ( .r ` R ) Y ) = Y )
15	12, 14	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( .1. ( .r ` R ) Y ) = Y )
16	15	3adant2 1019	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( .1. ( .r ` R ) Y ) = Y )
17	6, 16	eqeq12d 2220	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( ( X ./ Y ) ( .r ` R ) Y ) = ( .1. ( .r ` R ) Y ) <-> X = Y ) )
18	1, 17	imbitrid 154	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) = .1. -> X = Y ) )
19	3, 4, 13	dvrid 13899	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( Y ./ Y ) = .1. )
20	19	3adant2 1019	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( Y ./ Y ) = .1. )
21		oveq1 5951	. . . 4 |- ( X = Y -> ( X ./ Y ) = ( Y ./ Y ) )
22	21	eqeq1d 2214	. . 3 |- ( X = Y -> ( ( X ./ Y ) = .1. <-> ( Y ./ Y ) = .1. ) )
23	20, 22	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X = Y -> ( X ./ Y ) = .1. ) )
24	18, 23	impbid 129	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) = .1. <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   .rcmulr 12910   1rcur 13721  SRingcsrg 13725   Ringcrg 13758  Unitcui 13849  /_rcdvr 13893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-tpos 6331  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-cmn 13622  df-abl 13623  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-srg 13726  df-ring 13760  df-oppr 13830  df-dvdsr 13851  df-unit 13852  df-invr 13883  df-dvr 13894

This theorem is referenced by:  lringuplu  13958