Theorem dvreq1 14387

Description: Equality in terms of ratio equal to ring unity. (diveqap1 8996 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvreq1.b	|- B = ( Base ` R )
dvreq1.o	|- U = (Unit ` R )
dvreq1.d	|- ./ = (/r ` R )
dvreq1.t	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvreq1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) = .1. <-> X = Y ) )

Proof of Theorem dvreq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6065	. . 3 |- ( ( X ./ Y ) = .1. -> ( ( X ./ Y ) ( .r ` R ) Y ) = ( .1. ( .r ` R ) Y ) )
2		dvreq1.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
3		dvreq1.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
4		dvreq1.d	. . . . 5 |- ./ = (/r ` R )
5		eqid 2234	. . . . 5 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
6	2, 3, 4, 5	dvrcan1 14385	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) ( .r ` R ) Y ) = X )
7	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
8	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
9		ringsrg 14290	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
11		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> Y e. U )
12	7, 8, 10, 11	unitcld 14353	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> Y e. B )
13		dvreq1.t	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
14	2, 5, 13	ringlidm 14266	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( .1. ( .r ` R ) Y ) = Y )
15	12, 14	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( .1. ( .r ` R ) Y ) = Y )
16	15	3adant2 1043	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( .1. ( .r ` R ) Y ) = Y )
17	6, 16	eqeq12d 2249	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( ( X ./ Y ) ( .r ` R ) Y ) = ( .1. ( .r ` R ) Y ) <-> X = Y ) )
18	1, 17	imbitrid 154	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) = .1. -> X = Y ) )
19	3, 4, 13	dvrid 14382	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( Y ./ Y ) = .1. )
20	19	3adant2 1043	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( Y ./ Y ) = .1. )
21		oveq1 6065	. . . 4 |- ( X = Y -> ( X ./ Y ) = ( Y ./ Y ) )
22	21	eqeq1d 2243	. . 3 |- ( X = Y -> ( ( X ./ Y ) = .1. <-> ( Y ./ Y ) = .1. ) )
23	20, 22	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X = Y -> ( X ./ Y ) = .1. ) )
24	18, 23	impbid 129	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) = .1. <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   .rcmulr 13375   1rcur 14202  SRingcsrg 14206   Ringcrg 14239  Unitcui 14331  /_rcdvr 14376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-cmn 14039  df-abl 14040  df-mgp 14160  df-ur 14203  df-srg 14207  df-ring 14241  df-oppr 14311  df-dvdsr 14333  df-unit 14334  df-invr 14366  df-dvr 14377

This theorem is referenced by:  lringuplu  14441