Theorem edgfndxnn 15682

Description: The index value of the edge function extractor is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
edgfndxnn	⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ

Proof of Theorem edgfndxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgfndx 15681	. 2 ⊢ (.ef‘ndx) = ;18
2		1nn0 9331	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		8nn 9224	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 9543	. 2 ⊢ ;18 ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2279	1 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  1c1 7946  ℕcn 9056  8c8 9113  ;cdc 9524  ndxcnx 12904  .efcedgf 15678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-sub 8265  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-dec 9525  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-edgf 15679

This theorem is referenced by:  edgfndxid  15683  iedgvalg  15691  iedgex  15693  edgfiedgval2dom  15709  funvtxvalg  15710  funiedgvalg  15711  structiedg0val  15714  structgr2slots2dom  15715  structgrssvtx  15716  structgrssiedg  15717  struct2grstrg  15718  struct2grvtx  15719  iedgval0  15726  edgvalg  15731  edgstruct  15735