Theorem edgfndxnn 15858

Description: The index value of the edge function extractor is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
edgfndxnn	⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ

Proof of Theorem edgfndxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgfndx 15857	. 2 ⊢ (.ef‘ndx) = ;18
2		1nn0 9417	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		8nn 9310	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 9629	. 2 ⊢ ;18 ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  1c1 8032  ℕcn 9142  8c8 9199  ;cdc 9610  ndxcnx 13078  .efcedgf 15854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-edgf 15855

This theorem is referenced by:  edgfndxid  15859  iedgvalg  15867  iedgex  15869  edgfiedgval2dom  15885  funvtxvalg  15886  funiedgvalg  15887  structiedg0val  15890  structgr2slots2dom  15891  structgrssvtx  15892  structgrssiedg  15893  struct2grstrg  15894  struct2grvtx  15895  setsvtx  15901  setsiedg  15902  iedgval0  15904  edgvalg  15909  edgstruct  15914  usgrstrrepeen  16081