Theorem edgfndxnn 15830

Description: The index value of the edge function extractor is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
edgfndxnn	⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ

Proof of Theorem edgfndxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgfndx 15829	. 2 ⊢ (.ef‘ndx) = ;18
2		1nn0 9401	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		8nn 9294	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 9613	. 2 ⊢ ;18 ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5321  1c1 8016  ℕcn 9126  8c8 9183  ;cdc 9594  ndxcnx 13050  .efcedgf 15826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-edgf 15827

This theorem is referenced by:  edgfndxid  15831  iedgvalg  15839  iedgex  15841  edgfiedgval2dom  15857  funvtxvalg  15858  funiedgvalg  15859  structiedg0val  15862  structgr2slots2dom  15863  structgrssvtx  15864  structgrssiedg  15865  struct2grstrg  15866  struct2grvtx  15867  setsvtx  15873  setsiedg  15874  iedgval0  15876  edgvalg  15881  edgstruct  15885  usgrstrrepeen  16050