Theorem setsvtx 15817

Description: The vertices of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	|- I = (.ef ` ndx )
setsvtx.s	|- ( ph -> G Struct X )
setsvtx.b	|- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
setsvtx.e	|- ( ph -> E e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsvtx	|- ( ph -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem setsvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 13010	. . . . 5 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. _V )
4		setsvtx.i	. . . . . 6 |- I = (.ef ` ndx )
5		edgfndxnn 15774	. . . . . 6 |- (.ef ` ndx ) e. NN
6	4, 5	eqeltri 2282	. . . . 5 |- I e. NN
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> I e. NN )
8		setsvtx.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. W )
9		setsex 13030	. . . 4 |- ( ( G e. _V /\ I e. NN /\ E e. W ) -> ( G sSet <. I , E >. ) e. _V )
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1252	. . 3 |- ( ph -> ( G sSet <. I , E >. ) e. _V )
11	1, 7, 8	setsn0fun 13035	. . 3 |- ( ph -> Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) )
12	4	eqcomi 2213	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) = I
13	12	preq2i 3727	. . . 4 |- { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } = { ( Base ` ndx ) , I }
14		setsvtx.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
15	1, 7, 8, 14	bassetsnn 13055	. . . 4 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , I } C_ dom ( G sSet <. I , E >. ) )
16	13, 15	eqsstrid 3250	. . 3 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. I , E >. ) )
17		funvtxvalg 15802	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. I , E >. ) e. _V /\ Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) /\ { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. I , E >. ) ) -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1252	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
19		baseslid 13056	. . . 4 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
20		basendxnedgfndx 15777	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= (.ef ` ndx )
21	20, 4	neeqtrri 2409	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) =/= I
22	19, 21, 6	setsslnid 13050	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. W ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
23	3, 8, 22	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
24	18, 23	eqtr4d 2245	1 |- ( ph -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1375   e. wcel 2180   _Vcvv 2779   \ cdif 3174   C_ wss 3177   (/)c0 3471   {csn 3646   {cpr 3647   <.cop 3649   class class class wbr 4062   dom cdm 4696   Fun wfun 5288   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   NNcn 9078   Struct cstr 12994   ndxcnx 12995   sSet csts 12996   Basecbs 12998  .efcedgf 15770  Vtxcvtx 15778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-1o 6532  df-2o 6533  df-en 6858  df-dom 6859  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-edgf 15771  df-vtx 15780

This theorem is referenced by:  usgrstrrepeen  15994