Theorem setsvtx 15860

Description: The vertices of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	|- I = (.ef ` ndx )
setsvtx.s	|- ( ph -> G Struct X )
setsvtx.b	|- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
setsvtx.e	|- ( ph -> E e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsvtx	|- ( ph -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem setsvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 13052	. . . . 5 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. _V )
4		setsvtx.i	. . . . . 6 |- I = (.ef ` ndx )
5		edgfndxnn 15817	. . . . . 6 |- (.ef ` ndx ) e. NN
6	4, 5	eqeltri 2302	. . . . 5 |- I e. NN
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> I e. NN )
8		setsvtx.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. W )
9		setsex 13072	. . . 4 |- ( ( G e. _V /\ I e. NN /\ E e. W ) -> ( G sSet <. I , E >. ) e. _V )
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( G sSet <. I , E >. ) e. _V )
11	1, 7, 8	setsn0fun 13077	. . 3 |- ( ph -> Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) )
12	4	eqcomi 2233	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) = I
13	12	preq2i 3747	. . . 4 |- { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } = { ( Base ` ndx ) , I }
14		setsvtx.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
15	1, 7, 8, 14	bassetsnn 13097	. . . 4 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , I } C_ dom ( G sSet <. I , E >. ) )
16	13, 15	eqsstrid 3270	. . 3 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. I , E >. ) )
17		funvtxvalg 15845	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. I , E >. ) e. _V /\ Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) /\ { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. I , E >. ) ) -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
19		baseslid 13098	. . . 4 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
20		basendxnedgfndx 15820	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= (.ef ` ndx )
21	20, 4	neeqtrri 2429	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) =/= I
22	19, 21, 6	setsslnid 13092	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. W ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
23	3, 8, 22	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
24	18, 23	eqtr4d 2265	1 |- ( ph -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   Fun wfun 5312   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   NNcn 9118   Struct cstr 13036   ndxcnx 13037   sSet csts 13038   Basecbs 13040  .efcedgf 15813  Vtxcvtx 15821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-1o 6568  df-2o 6569  df-en 6896  df-dom 6897  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-edgf 15814  df-vtx 15823

This theorem is referenced by:  usgrstrrepeen  16037