Theorem setsvtx 16275

Description: The vertices of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	|- I = (.ef ` ndx )
setsvtx.s	|- ( ph -> G Struct X )
setsvtx.b	|- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
setsvtx.e	|- ( ph -> E e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsvtx	|- ( ph -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem setsvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . . 5 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 13347	. . . . 5 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. _V )
4		setsvtx.i	. . . . . 6 |- I = (.ef ` ndx )
5		edgfndxnn 16232	. . . . . 6 |- (.ef ` ndx ) e. NN
6	4, 5	eqeltri 2311	. . . . 5 |- I e. NN
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> I e. NN )
8		setsvtx.e	. . . 4 |- ( ph -> E e. W )
9		setsex 13367	. . . 4 |- ( ( G e. _V /\ I e. NN /\ E e. W ) -> ( G sSet <. I , E >. ) e. _V )
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( G sSet <. I , E >. ) e. _V )
11	1, 7, 8	setsn0fun 13372	. . 3 |- ( ph -> Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) )
12	4	eqcomi 2242	. . . . 5 |- (.ef ` ndx ) = I
13	12	preq2i 3791	. . . 4 |- { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } = { ( Base ` ndx ) , I }
14		setsvtx.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. dom G )
15	1, 7, 8, 14	bassetsnn 13392	. . . 4 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , I } C_ dom ( G sSet <. I , E >. ) )
16	13, 15	eqsstrid 3294	. . 3 |- ( ph -> { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. I , E >. ) )
17		funvtxvalg 16260	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. I , E >. ) e. _V /\ Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) /\ { ( Base ` ndx ) , (.ef ` ndx ) } C_ dom ( G sSet <. I , E >. ) ) -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
19		baseslid 13393	. . . 4 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
20		basendxnedgfndx 16235	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= (.ef ` ndx )
21	20, 4	neeqtrri 2449	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) =/= I
22	19, 21, 6	setsslnid 13387	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ E e. W ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
23	3, 8, 22	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( G sSet <. I , E >. ) ) )
24	18, 23	eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> (Vtx ` ( G sSet <. I , E >. ) ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3708   {cpr 3709   <.cop 3711   class class class wbr 4128   dom cdm 4772   Fun wfun 5369   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   NNcn 9287   Struct cstr 13331   ndxcnx 13332   sSet csts 13333   Basecbs 13335  .efcedgf 16228  Vtxcvtx 16236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-1o 6681  df-2o 6682  df-en 7017  df-dom 7018  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-edgf 16229  df-vtx 16238

This theorem is referenced by:  usgrstrrepeen  16455