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Theorem elfz0fzfz0 9843
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0fzfz0 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfz0fzfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9832 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
2 elfz2 9737 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)))
3 nn0re 8937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
4 nn0re 8937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
5 zre 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
63, 4, 53anim123i 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
763expa 1164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 letr 7811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀𝐿𝐿𝑁) → 𝑀𝑁))
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿𝐿𝑁) → 𝑀𝑁))
10 simplll 505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
11 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1211adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 elnn0z 9018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
14 0red 7731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
15 zre 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1615adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
175adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 letr 7811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1914, 16, 17, 18syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2019exp4b 362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁))))
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁))))
2221imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
2313, 22sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
2423adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
2524imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
2625imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
27 elnn0z 9018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
2812, 26, 27sylanbrc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
3010, 28, 293jca 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
3130ex 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
329, 31syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
3332exp4b 362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝐿 → (𝐿𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))))
3433com23 78 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐿 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))))
35343impia 1161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
3635com13 80 . . . . . . . . . 10 (𝐿𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
3736adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
3837com12 30 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
39383ad2ant3 987 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))))
4039imp 123 . . . . . 6 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
412, 40sylbi 120 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
4241com12 30 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
431, 42sylbi 120 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
4443imp 123 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
45 elfz2nn0 9832 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
4644, 45sylibr 133 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 945  wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cr 7583  0cc0 7584  cle 7765  0cn0 8928  cz 9005  ...cfz 9730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731
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