Theorem elfz0fzfz0 10201

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0fzfz0	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfz0fzfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10187	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
2		elfz2 10090	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)))
3		nn0re 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
4		nn0re 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℝ)
5		zre 9330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3anim123i 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		letr 8109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
10		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		elnn0z 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
14		0red 8027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
15		zre 9330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
17	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		letr 8109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
20	19	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≤ 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))))
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))))
22	21	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
23	13, 22	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 → 0 ≤ 𝑁)))
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
26	25	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
27		elnn0z 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
28	12, 26, 27	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
30	10, 28, 29	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
32	9, 31	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
33	32	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐿 → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))))
34	33	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝐿 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))))
35	34	3impia 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
36	35	com13 80	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
37	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
38	37	com12 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
39	38	3ad2ant3 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
40	39	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
41	2, 40	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
42	41	com12 30	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
43	1, 42	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
44	43	imp 124	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
45		elfz2nn0 10187	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879   ≤ cle 8062  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

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