Theorem elfzel2 10246

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10245	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 9753	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  ℤcz 9467  ℤ_≥cuz 9743  ...cfz 10231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-fv 5330  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-neg 8341  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10258  fzdisj  10275  fzssp1  10290  fzp1disj  10303  fzrev2i  10309  fzrev3  10310  fznuz  10325  fznn0sub2  10351  elfzmlbm  10354  difelfznle  10358  nn0disj  10361  fz1fzo0m1  10416  fzofzp1b  10461  iseqf1olemqcl  10749  iseqf1olemab  10752  iseqf1olemqf1o  10756  iseqf1olemqk  10757  iseqf1olemjpcl  10758  iseqf1olemqpcl  10759  iseqf1olemfvp  10760  seq3f1olemqsumkj  10761  seq3f1olemqsumk  10762  seq3f1olemqsum  10763  seq3f1olemstep  10764  bcm1k  11010  bcp1nk  11012  swrdwrdsymbg  11232  ccatswrd  11238  swrdswrd  11273  pfxswrd  11274  pfxccatin12lem2  11299