ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo0z Unicode version

Theorem elfzo0z 9901
Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 9899 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0z  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )

Proof of Theorem elfzo0z
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9899 . 2  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )
2 nnz 9024 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
323anim2i 1151 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
4 simp1 964 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  e.  NN0 )
5 elnn0z 9018 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
6 0red 7731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
7 zre 9009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
87adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
9 zre 9009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
109adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
11 lelttr 7816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  0  <  B ) )
13 elnnz 9015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  <->  ( B  e.  ZZ  /\  0  < 
B ) )
1413simplbi2 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1514adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1612, 15syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  B  e.  NN ) )
1716expd 256 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
1817impancom 258 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
195, 18sylbi 120 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
20193imp 1158 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  NN )
21 simp3 966 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <  B )
224, 20, 213jca 1144 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B ) )
233, 22impbii 125 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  <->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
241, 23bitri 183 1  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    e. wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584    < clt 7764    <_ cle 7765   NNcn 8677   NN0cn0 8928   ZZcz 9005  ..^cfzo 9859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-fzo 9860
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator