ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo0z Unicode version

Theorem elfzo0z 10083
Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 10081 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0z  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )

Proof of Theorem elfzo0z
StepHypRef Expression
1 elfzo0 10081 . 2  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )
2 nnz 9186 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
323anim2i 1169 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
4 simp1 982 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  e.  NN0 )
5 elnn0z 9180 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
6 0red 7879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
7 zre 9171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
87adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
9 zre 9171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
109adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
11 lelttr 7965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  0  <  B ) )
13 elnnz 9177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  <->  ( B  e.  ZZ  /\  0  < 
B ) )
1413simplbi2 383 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1514adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1612, 15syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  B  e.  NN ) )
1716expd 256 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
1817impancom 258 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
195, 18sylbi 120 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
20193imp 1176 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  NN )
21 simp3 984 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <  B )
224, 20, 213jca 1162 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B ) )
233, 22impbii 125 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  <->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
241, 23bitri 183 1  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   RRcr 7731   0cc0 7732    < clt 7912    <_ cle 7913   NNcn 8833   NN0cn0 9090   ZZcz 9167  ..^cfzo 10041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913  df-fzo 10042
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator