Theorem elfzo0z 9560

Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 9558 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0z	|- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Proof of Theorem elfzo0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 9558	. 2 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
2		nnz 8739	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
3	2	3anim2i 1130	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
4		simp1 943	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. NN0 )
5		elnn0z 8733	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) )
6		0red 7468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. RR )
7		zre 8724	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
8	7	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
9		zre 8724	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
10	9	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
11		lelttr 7552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1174	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
13		elnnz 8730	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN <-> ( B e. ZZ /\ 0 < B ) )
14	13	simplbi2 377	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
15	14	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
16	12, 15	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> B e. NN ) )
17	16	expd 254	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 <_ A -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
18	17	impancom 256	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
19	5, 18	sylbi 119	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
20	19	3imp 1137	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. NN )
21		simp3 945	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A < B )
22	4, 20, 21	3jca 1123	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
23	3, 22	impbii 124	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
24	1, 23	bitri 182	1 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 924   e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329   < clt 7501   <_ cle 7502   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720  ..^cfzo 9518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519

This theorem is referenced by: (None)