Theorem elfzo0z 10216

Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 10214 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0z	|- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Proof of Theorem elfzo0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10214	. 2 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
2		nnz 9303	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
3	2	3anim2i 1188	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
4		simp1 999	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. NN0 )
5		elnn0z 9297	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) )
6		0red 7989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. RR )
7		zre 9288	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
9		zre 9288	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
11		lelttr 8077	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
13		elnnz 9294	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN <-> ( B e. ZZ /\ 0 < B ) )
14	13	simplbi2 385	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
16	12, 15	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> B e. NN ) )
17	16	expd 258	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 <_ A -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
18	17	impancom 260	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
19	5, 18	sylbi 121	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
20	19	3imp 1195	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. NN )
21		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A < B )
22	4, 20, 21	3jca 1179	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
23	3, 22	impbii 126	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
24	1, 23	bitri 184	1 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   < clt 8023   <_ cle 8024   NNcn 8950   NN0cn0 9207   ZZcz 9284  ..^cfzo 10174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-fzo 10175

This theorem is referenced by: (None)