Theorem elfzo0z 10469

Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 10466 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0z	|- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Proof of Theorem elfzo0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10466	. 2 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
2		nnz 9542	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
3	2	3anim2i 1213	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
4		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. NN0 )
5		elnn0z 9536	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) )
6		0red 8223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. RR )
7		zre 9527	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
9		zre 9527	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
11		lelttr 8310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
13		elnnz 9533	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN <-> ( B e. ZZ /\ 0 < B ) )
14	13	simplbi2 385	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
16	12, 15	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> B e. NN ) )
17	16	expd 258	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 <_ A -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
18	17	impancom 260	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
19	5, 18	sylbi 121	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
20	19	3imp 1220	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. NN )
21		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A < B )
22	4, 20, 21	3jca 1204	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
23	3, 22	impbii 126	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
24	1, 23	bitri 184	1 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8074   0cc0 8075   < clt 8256   <_ cle 8257   NNcn 9185   NN0cn0 9444   ZZcz 9523  ..^cfzo 10422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423

This theorem is referenced by: (None)