Theorem elfzo0z 10308

Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 10306 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0z	|- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Proof of Theorem elfzo0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10306	. 2 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
2		nnz 9391	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
3	2	3anim2i 1189	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
4		simp1 1000	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. NN0 )
5		elnn0z 9385	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) )
6		0red 8073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. RR )
7		zre 9376	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
9		zre 9376	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
11		lelttr 8161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
13		elnnz 9382	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN <-> ( B e. ZZ /\ 0 < B ) )
14	13	simplbi2 385	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
16	12, 15	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> B e. NN ) )
17	16	expd 258	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 <_ A -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
18	17	impancom 260	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
19	5, 18	sylbi 121	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
20	19	3imp 1196	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. NN )
21		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A < B )
22	4, 20, 21	3jca 1180	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
23	3, 22	impbii 126	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
24	1, 23	bitri 184	1 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   < clt 8107   <_ cle 8108   NNcn 9036   NN0cn0 9295   ZZcz 9372  ..^cfzo 10264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by: (None)