Theorem elfzo0z 10140

Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 10138 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0z	|- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Proof of Theorem elfzo0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10138	. 2 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
2		nnz 9231	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
3	2	3anim2i 1181	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
4		simp1 992	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. NN0 )
5		elnn0z 9225	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) )
6		0red 7921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 0 e. RR )
7		zre 9216	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
8	7	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
9		zre 9216	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
10	9	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
11		lelttr 8008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
13		elnnz 9222	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN <-> ( B e. ZZ /\ 0 < B ) )
14	13	simplbi2 383	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
15	14	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 < B -> B e. NN ) )
16	12, 15	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> B e. NN ) )
17	16	expd 256	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 <_ A -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
18	17	impancom 258	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
19	5, 18	sylbi 120	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( B e. ZZ -> ( A < B -> B e. NN ) ) )
20	19	3imp 1188	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> B e. NN )
21		simp3 994	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A < B )
22	4, 20, 21	3jca 1172	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) )
23	3, 22	impbii 125	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN /\ A < B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )
24	1, 23	bitri 183	1 |- ( A e. ( 0..^ B ) <-> ( A e. NN0 /\ B e. ZZ /\ A < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   < clt 7954   <_ cle 7955   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212  ..^cfzo 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by: (None)