ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo0z Unicode version

Theorem elfzo0z 10167
Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 10165 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0z  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )

Proof of Theorem elfzo0z
StepHypRef Expression
1 elfzo0 10165 . 2  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )
2 nnz 9258 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
323anim2i 1186 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
4 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  e.  NN0 )
5 elnn0z 9252 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
6 0red 7946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
7 zre 9243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
87adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
9 zre 9243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
109adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
11 lelttr 8033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  0  <  B ) )
13 elnnz 9249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  <->  ( B  e.  ZZ  /\  0  < 
B ) )
1413simplbi2 385 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1514adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1612, 15syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  B  e.  NN ) )
1716expd 258 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
1817impancom 260 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
195, 18sylbi 121 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
20193imp 1193 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  NN )
21 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <  B )
224, 20, 213jca 1177 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B ) )
233, 22impbii 126 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  <->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
241, 23bitri 184 1  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7798   0cc0 7799    < clt 7979    <_ cle 7980   NNcn 8905   NN0cn0 9162   ZZcz 9239  ..^cfzo 10125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-fz 9993  df-fzo 10126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator