ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo0z Unicode version

Theorem elfzo0z 9560
Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 9558 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0z  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )

Proof of Theorem elfzo0z
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9558 . 2  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )
2 nnz 8739 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
323anim2i 1130 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
4 simp1 943 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  e.  NN0 )
5 elnn0z 8733 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
6 0red 7468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
7 zre 8724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
87adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
9 zre 8724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
109adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
11 lelttr 7552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
) )
126, 8, 10, 11syl3anc 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  0  <  B ) )
13 elnnz 8730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  <->  ( B  e.  ZZ  /\  0  < 
B ) )
1413simplbi2 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1514adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  B  ->  B  e.  NN ) )
1612, 15syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  B  e.  NN ) )
1716expd 254 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
1817impancom 256 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
195, 18sylbi 119 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  <  B  ->  B  e.  NN ) ) )
20193imp 1137 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  B  e.  NN )
21 simp3 945 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  A  <  B )
224, 20, 213jca 1123 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B ) )
233, 22impbii 124 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  <->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
241, 23bitri 182 1  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329    < clt 7501    <_ cle 7502   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator