ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo0z GIF version

Theorem elfzo0z 10197
Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 10195 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0z (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0z
StepHypRef Expression
1 elfzo0 10195 . 2 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
2 nnz 9285 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
323anim2i 1187 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
4 simp1 998 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5 elnn0z 9279 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6 0red 7971 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
7 zre 9270 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 9270 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 lelttr 8059 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
126, 8, 10, 11syl3anc 1248 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13 elnnz 9276 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
1413simplbi2 385 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → (0 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ))
1514adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ))
1612, 15syld 45 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
1716expd 258 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ)))
1817impancom 260 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ)))
195, 18sylbi 121 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ)))
20193imp 1194 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
21 simp3 1000 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
224, 20, 213jca 1178 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
233, 22impbii 126 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
241, 23bitri 184 1 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 979  wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  cr 7823  0cc0 7824   < clt 8005  cle 8006  cn 8932  0cn0 9189  cz 9266  ..^cfzo 10155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator