ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo0z GIF version

Theorem elfzo0z 9851
Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 9849 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0z (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0z
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9849 . 2 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
2 nnz 8974 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
323anim2i 1151 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
4 simp1 964 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5 elnn0z 8968 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6 0red 7688 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
7 zre 8959 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 8959 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantl 273 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 lelttr 7772 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
126, 8, 10, 11syl3anc 1199 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13 elnnz 8965 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
1413simplbi2 380 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → (0 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ))
1514adantl 273 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ))
1612, 15syld 45 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
1716expd 256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ)))
1817impancom 258 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ)))
195, 18sylbi 120 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ)))
20193imp 1158 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
21 simp3 966 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
224, 20, 213jca 1144 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
233, 22impbii 125 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
241, 23bitri 183 1 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945  wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  cr 7543  0cc0 7544   < clt 7721  cle 7722  cn 8627  0cn0 8878  cz 8955  ..^cfzo 9809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-addcom 7642  ax-addass 7644  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-ltadd 7658
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-inn 8628  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226  df-fz 9681  df-fzo 9810
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator