ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo0z GIF version

Theorem elfzo0z 9560
Description: Membership in a half-open range of nonnegative integers, generalization of elfzo0 9558 requiring the upper bound to be an integer only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0z (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0z
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9558 . 2 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
2 nnz 8739 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
323anim2i 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
4 simp1 943 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5 elnn0z 8733 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6 0red 7468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
7 zre 8724 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 8724 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 lelttr 7552 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
126, 8, 10, 11syl3anc 1174 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13 elnnz 8730 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
1413simplbi2 377 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → (0 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ))
1514adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ))
1612, 15syld 44 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ))
1716expd 254 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ)))
1817impancom 256 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ)))
195, 18sylbi 119 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 < 𝐵𝐵 ∈ ℕ)))
20193imp 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
21 simp3 945 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
224, 20, 213jca 1123 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
233, 22impbii 124 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
241, 23bitri 182 1 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329   < clt 7501  cle 7502  cn 8394  0cn0 8643  cz 8720  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator