ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzp12 Unicode version

Theorem elfzp12 10129
Description: Options for membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
elfzp12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )

Proof of Theorem elfzp12
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10055 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
21anim2i 342 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ ) )
3 eluzel2 9563 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
4 eleq1 2252 . . . . 5  |-  ( K  =  M  ->  ( K  e.  ZZ  <->  M  e.  ZZ ) )
53, 4syl5ibrcom 157 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  =  M  ->  K  e.  ZZ ) )
65imdistani 445 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  =  M )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ ) )
7 elfzelz 10055 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  K  e.  ZZ )
87anim2i 342 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ ) )
96, 8jaodan 798 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ ) )
10 fzpred 10100 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( { M }  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
1110eleq2d 2259 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  K  e.  ( { M }  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) ) )
12 elun 3291 . . . 4  |-  ( K  e.  ( { M }  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  <-> 
( K  e.  { M }  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
1311, 12bitrdi 196 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e. 
{ M }  \/  K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) ) )
14 elsng 3622 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  { M } 
<->  K  =  M ) )
1514orbi1d 792 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  { M }  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
1613, 15sylan9bb 462 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
172, 9, 16pm5.21nd 917 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160    u. cun 3142   {csn 3607   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   1c1 7842    + caddc 7844   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039
This theorem is referenced by:  bcpasc  10778  prmdiv  12267  lgseisenlem1  14911
  Copyright terms: Public domain W3C validator