ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzp12 Unicode version

Theorem elfzp12 9662
Description: Options for membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
elfzp12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )

Proof of Theorem elfzp12
StepHypRef Expression
1 elfzelz 9589 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
21anim2i 335 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ ) )
3 eluzel2 9123 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
4 eleq1 2157 . . . . 5  |-  ( K  =  M  ->  ( K  e.  ZZ  <->  M  e.  ZZ ) )
53, 4syl5ibrcom 156 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  =  M  ->  K  e.  ZZ ) )
65imdistani 435 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  =  M )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ ) )
7 elfzelz 9589 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  K  e.  ZZ )
87anim2i 335 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ ) )
96, 8jaodan 749 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ ) )
10 fzpred 9633 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( { M }  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
1110eleq2d 2164 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  K  e.  ( { M }  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) ) )
12 elun 3156 . . . 4  |-  ( K  e.  ( { M }  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  <-> 
( K  e.  { M }  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
1311, 12syl6bb 195 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e. 
{ M }  \/  K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) ) )
14 elsng 3481 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  { M } 
<->  K  =  M ) )
1514orbi1d 743 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  { M }  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
1613, 15sylan9bb 451 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
172, 9, 16pm5.21nd 866 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 667    = wceq 1296    e. wcel 1445    u. cun 3011   {csn 3466   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   1c1 7448    + caddc 7450   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118   ...cfz 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574
This theorem is referenced by:  bcpasc  10289
  Copyright terms: Public domain W3C validator