Theorem elfzp12 9879

Description: Options for membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
elfzp12	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )

Proof of Theorem elfzp12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 9806	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
2	1	anim2i 339	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) )
3		eluzel2 9331	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( K = M -> ( K e. ZZ <-> M e. ZZ ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K = M -> K e. ZZ ) )
6	5	imdistani 441	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K = M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) )
7		elfzelz 9806	. . . 4 |- ( K e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> K e. ZZ )
8	7	anim2i 339	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) )
9	6, 8	jaodan 786	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) )
10		fzpred 9850	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
11	10	eleq2d 2209	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K e. ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
12		elun 3217	. . . 4 |- ( K e. ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) <-> ( K e. { M } \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
13	11, 12	syl6bb 195	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. { M } \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
14		elsng 3542	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( K e. { M } <-> K = M ) )
15	14	orbi1d 780	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( K e. { M } \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
16	13, 15	sylan9bb 457	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
17	2, 9, 16	pm5.21nd 901	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3069   {csn 3527   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  bcpasc  10512