Theorem elfzp12 10487

Description: Options for membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
elfzp12	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))

Proof of Theorem elfzp12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10410	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2	1	anim2i 342	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
3		eluzel2 9908	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eleq1 2301	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (𝐾 ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
5	3, 4	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 = 𝑀 → 𝐾 ∈ ℤ))
6	5	imdistani 449	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
7		elfzelz 10410	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
9	6, 8	jaodan 809	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
10		fzpred 10458	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
11	10	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
12		elun 3370	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
13	11, 12	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
14		elsng 3723	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ {𝑀} ↔ 𝐾 = 𝑀))
15	14	orbi1d 803	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ↔ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
16	13, 15	sylan9bb 466	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
17	2, 9, 16	pm5.21nd 928	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {csn 3708  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078  1c1 8173   + caddc 8175  ℤcz 9626  ℤ_≥cuz 9903  ...cfz 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10938  bcpasc  11185  prmdiv  12994  ballotfilem2  13209  dvply1  15792  lgseisenlem1  16106  lgsquadlem2  16114