Theorem elfzp12 10171

Description: Options for membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
elfzp12	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))

Proof of Theorem elfzp12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10097	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2	1	anim2i 342	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
3		eluzel2 9603	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (𝐾 ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ))
5	3, 4	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 = 𝑀 → 𝐾 ∈ ℤ))
6	5	imdistani 445	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
7		elfzelz 10097	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
9	6, 8	jaodan 798	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
10		fzpred 10142	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
11	10	eleq2d 2266	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
12		elun 3304	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
13	11, 12	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
14		elsng 3637	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ {𝑀} ↔ 𝐾 = 𝑀))
15	14	orbi1d 792	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ↔ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
16	13, 15	sylan9bb 462	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
17	2, 9, 16	pm5.21nd 917	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {csn 3622  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1c1 7878   + caddc 7880  ℤcz 9323  ℤ_≥cuz 9598  ...cfz 10080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10597  bcpasc  10843  prmdiv  12379  dvply1  14976  lgseisenlem1  15278  lgsquadlem2  15286