Theorem elioore 10125

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	|- ( A e. ( B (,) C ) -> A e. RR )

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 10123	. 2 |- ( A e. ( B (,) C ) <-> ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) /\ ( B < A /\ A < C ) ) )
2		3ancomb 1010	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) <-> ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR* ) )
3		xrre2 10034	. . 3 |- ( ( ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( B < A /\ A < C ) ) -> A e. RR )
4	2, 3	sylanb 284	. 2 |- ( ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) /\ ( B < A /\ A < C ) ) -> A e. RR )
5	1, 4	sylbi 121	1 |- ( A e. ( B (,) C ) -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   RRcr 8014   RR*cxr 8196   < clt 8197   (,)cioo 10101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-ioo 10105

This theorem is referenced by:  iooval2  10128  elioo4g  10147  ioossre  10148  zltaddlt1le  10220  tgioo  15249  ivthinc  15338  ivthdichlem  15346  reeff1oleme  15467  sin0pilem1  15476  sin0pilem2  15477  pilem3  15478  pire  15481  sinq34lt0t  15526  cosq14gt0  15527  cosq23lt0  15528  coseq0q4123  15529  tanrpcl  15532  tangtx  15533  cos02pilt1  15546  cos0pilt1  15547  ioocosf1o  15549  iooref1o  16516