Theorem elioore 9725

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	|- ( A e. ( B (,) C ) -> A e. RR )

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 9723	. 2 |- ( A e. ( B (,) C ) <-> ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) /\ ( B < A /\ A < C ) ) )
2		3ancomb 971	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) <-> ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR* ) )
3		xrre2 9634	. . 3 |- ( ( ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( B < A /\ A < C ) ) -> A e. RR )
4	2, 3	sylanb 282	. 2 |- ( ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) /\ ( B < A /\ A < C ) ) -> A e. RR )
5	1, 4	sylbi 120	1 |- ( A e. ( B (,) C ) -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   RR*cxr 7823   < clt 7824   (,)cioo 9701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-ioo 9705

This theorem is referenced by:  iooval2  9728  elioo4g  9747  ioossre  9748  zltaddlt1le  9820  tgioo  12754  ivthinc  12829  reeff1oleme  12901  sin0pilem1  12910  sin0pilem2  12911  pilem3  12912  pire  12915  sinq34lt0t  12960  cosq14gt0  12961  cosq23lt0  12962  coseq0q4123  12963  tanrpcl  12966  tangtx  12967  cos02pilt1  12980  cos0pilt1  12981  ioocosf1o  12983  iooref1o  13426