Theorem pire 13758

Description: pi is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	|- pi e. RR

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 13755	. . 3 |- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )
2	1	simpli 111	. 2 |- pi e. ( 2 (,) 4 )
3		elioore 9881	. 2 |- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) -> pi e. RR )
4	2, 3	ax-mp 5	1 |- pi e. RR

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   RRcr 7785   0cc0 7786   2c2 8941   4c4 8943   (,)cioo 9857   sincsin 11618   picpi 11621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907  ax-addf 7908  ax-mulf 7909

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-xneg 9741  df-xadd 9742  df-ioo 9861  df-ioc 9862  df-ico 9863  df-icc 9864  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-fac 10672  df-bc 10694  df-ihash 10722  df-shft 10790  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328  df-ef 11622  df-sin 11624  df-cos 11625  df-pi 11627  df-rest 12610  df-topgen 12629  df-psmet 13038  df-xmet 13039  df-met 13040  df-bl 13041  df-mopn 13042  df-top 13047  df-topon 13060  df-bases 13092  df-ntr 13147  df-cn 13239  df-cnp 13240  df-tx 13304  df-cncf 13609  df-limced 13676  df-dvap 13677

This theorem is referenced by:  picn  13759  pipos  13760  pirp  13761  sinhalfpilem  13763  halfpire  13764  sincosq1lem  13797  sincosq2sgn  13799  sincosq3sgn  13800  sincosq4sgn  13801  sinq12gt0  13802  sinq34lt0t  13803  cosq14gt0  13804  cosq23lt0  13805  coseq00topi  13807  coseq0negpitopi  13808  tangtx  13810  sincos4thpi  13812  tan4thpi  13813  sincos6thpi  13814  pigt3  13816  pige3  13817  coskpi  13820  cosordlem  13821  cosq34lt1  13822  cos02pilt1  13823  cos0pilt1  13824  cos11  13825  ioocosf1o  13826  negpitopissre  13827  rpabscxpbnd  13910  taupi  14359