Theorem sinq34lt0t 12960

Description: The sine of a number strictly between pi and 2 x. pi is negative. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinq34lt0t	|- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( sin ` A ) < 0 )

Proof of Theorem sinq34lt0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9725	. . . . . 6 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. RR )
2		picn 12916	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
3	2	addid2i 7929	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + pi ) = pi
4	3	eqcomi 2144	. . . . . . . . 9 |- pi = ( 0 + pi )
5	2	2timesi 8874	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
6	4, 5	oveq12i 5794	. . . . . . . 8 |- ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) = ( ( 0 + pi ) (,) ( pi + pi ) )
7	6	eleq2i 2207	. . . . . . 7 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> A e. ( ( 0 + pi ) (,) ( pi + pi ) ) )
8		pire 12915	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
9		0re 7790	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
10		iooshf 9765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ pi e. RR ) /\ ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) ) -> ( ( A - pi ) e. ( 0 (,) pi ) <-> A e. ( ( 0 + pi ) (,) ( pi + pi ) ) ) )
11	9, 8, 10	mpanr12 436	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( A - pi ) e. ( 0 (,) pi ) <-> A e. ( ( 0 + pi ) (,) ( pi + pi ) ) ) )
12	8, 11	mpan2 422	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( A - pi ) e. ( 0 (,) pi ) <-> A e. ( ( 0 + pi ) (,) ( pi + pi ) ) ) )
13	7, 12	bitr4id 198	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A - pi ) e. ( 0 (,) pi ) ) )
14	1, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A - pi ) e. ( 0 (,) pi ) ) )
15	14	ibi 175	. . . 4 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( A - pi ) e. ( 0 (,) pi ) )
16		sinq12gt0 12959	. . . 4 |- ( ( A - pi ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` ( A - pi ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < ( sin ` ( A - pi ) ) )
18	1	recnd 7818	. . . 4 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. CC )
19		sinmpi 12944	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
21	17, 20	breqtrd 3962	. 2 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < -u ( sin ` A ) )
22	1	resincld 11466	. . 3 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( sin ` A ) e. RR )
23	22	lt0neg1d 8301	. 2 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( sin ` A ) < 0 <-> 0 < -u ( sin ` A ) ) )
24	21, 23	mpbird 166	1 |- ( A e. ( pi (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( sin ` A ) < 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   - cmin 7957   -ucneg 7958   2c2 8795   (,)cioo 9701   sincsin 11387   picpi 11390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765  ax-addf 7766  ax-mulf 7767

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-ioc 9706  df-ico 9707  df-icc 9708  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394  df-pi 11396  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461  df-cncf 12766  df-limced 12833  df-dvap 12834

This theorem is referenced by:  cosq23lt0  12962