Theorem ellspsn 14756

Description: Member of span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   · ,𝑘   𝑘,𝑋

Proof of Theorem ellspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		lspsn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3		lspsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspsn.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lspsn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 14755	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
7	6	eleq2d 2308	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}))
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)) → 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
9		vex 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 ∈ V
10		vscaslid 13519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	slotex 13381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V)
12	4, 11	eqeltrid 2325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → · ∈ V)
13		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		ovexg 6119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ V ∧ · ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ V)
15	9, 12, 13, 14	mp3an2ani 1385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ V)
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)) → (𝑘 · 𝑋) ∈ V)
17	8, 16	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)) → 𝑈 ∈ V)
18	17	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V))
19	18	rexlimdvw 2672	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V))
20		eqeq1 2245	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
21	20	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
22	21	elab3g 2977	. . 3 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V) → (𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
23	19, 22	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
24	7, 23	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∃wrex 2529  Vcvv 2821  {csn 3709  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  Scalarcsca 13436   ·_𝑠 cvsca 13437  LModclmod 14625  LSpanclspn 14725

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-sbg 13812  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-ring 14304  df-lmod 14627  df-lssm 14692  df-lsp 14726

This theorem is used by:  lspsnss2  14758  rspsn  14873