Theorem ellspsn 14402

Description: Member of span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   · ,𝑘   𝑘,𝑋

Proof of Theorem ellspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		lspsn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3		lspsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspsn.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lspsn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 14401	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
7	6	eleq2d 2299	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}))
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)) → 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
9		vex 2802	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑘 ∈ V
10		vscaslid 13217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	slotex 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) ∈ V)
12	4, 11	eqeltrid 2316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → · ∈ V)
13		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		ovexg 6044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ V ∧ · ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ V)
15	9, 12, 13, 14	mp3an2ani 1378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ V)
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)) → (𝑘 · 𝑋) ∈ V)
17	8, 16	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)) → 𝑈 ∈ V)
18	17	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V))
19	18	rexlimdvw 2652	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V))
20		eqeq1 2236	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
21	20	rexbidv 2531	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
22	21	elab3g 2954	. . 3 ⊢ ((∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V) → (𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
23	19, 22	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
24	7, 23	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∃wrex 2509  Vcvv 2799  {csn 3666  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053  Scalarcsca 13134   ·_𝑠 cvsca 13135  LModclmod 14272  LSpanclspn 14371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-sbg 13559  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-ring 13982  df-lmod 14274  df-lssm 14338  df-lsp 14372

This theorem is referenced by:  lspsnss2  14404  rspsn  14519