Theorem seqshft2g 10868

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqshft2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqshft2.2	|- ( ph -> K e. ZZ )
seqshft2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
seqshft2g.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqshft2g.f	|- ( ph -> F e. W )
seqshft2g.g	|- ( ph -> G e. X )

Assertion

Ref	Expression
seqshft2g	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, K   k, M   ph, k   k, N

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   V( k)   W( k)   X( k)

Proof of Theorem seqshft2g

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqshft2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10386	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2297	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6		fvoveq1 6081	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) )
8	4, 7	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) ) )
10		eleq1 2297	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
11		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
12		fvoveq1 6081	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) )
13	11, 12	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) )
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) ) )
16		eleq1 2297	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
17		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
18		fvoveq1 6081	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
20	16, 19	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
22		eleq1 2297	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
23		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
24		fvoveq1 6081	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )
25	23, 24	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
26	22, 25	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( x + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) ) )
28		fveq2 5675	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
29		fvoveq1 6081	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
30	28, 29	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
31		seqshft2.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
32	31	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
33		eluzfz1 10385	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
34	1, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
35	30, 32, 34	rspcdva 2928	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) )
36		eluzel2 9876	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
37	1, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
38		seqshft2g.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. W )
39		seqshft2g.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> .+ e. V )
40		seq1g 10849	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
42		seqshft2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
43	37, 42	zaddcld 9722	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
44		seqshft2g.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. X )
45		seq1g 10849	. . . . . . 7 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ G e. X /\ .+ e. V ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
46	43, 44, 39, 45	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
47	35, 41, 46	3eqtr4d 2277	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) )
48	47	a1i13 24	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( M + K ) ) ) ) )
49		peano2fzr 10391	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
51	50	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
52	51	imim1d 75	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) )
53		oveq1 6065	. . . . . 6 |- ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
54		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
55	38	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> F e. W )
56	39	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> .+ e. V )
57		seqp1g 10852	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
59	42	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> K e. ZZ )
60		eluzadd 9901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
61	54, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
62	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> G e. X )
63		seqp1g 10852	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) /\ G e. X /\ .+ e. V ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
64	61, 62, 56, 63	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
65		eluzelz 9881	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
66	54, 65	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
67		zcn 9599	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
68		zcn 9599	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
69		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
70		add32 8448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
71	69, 70	mp3an2 1362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
72	67, 68, 71	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
73	66, 59, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
74	73	fveq2d 5679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
75		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
76		fvoveq1 6081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
77	75, 76	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
78	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
79		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
80	77, 78, 79	rspcdva 2928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
81	73	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
82	80, 81	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
83	82	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
84	64, 74, 83	3eqtr4d 2277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
85	58, 84	eqeq12d 2249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
86	53, 85	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
87	52, 86	animpimp2impd 561	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( n + K ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
88	9, 15, 21, 27, 48, 87	uzind4 9938	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) ) )
89	1, 88	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) ) )
90	3, 89	mpd 13	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G ) ` ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   1c1 8144   + caddc 8146   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10906  gsumgfsumlem  16977