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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > seqshft2g | Unicode version |
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.) |
Ref | Expression |
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seqshft2.1 |
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seqshft2.2 |
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seqshft2.3 |
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seqshft2g.p |
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seqshft2g.f |
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seqshft2g.g |
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Ref | Expression |
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seqshft2g |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | seqshft2.1 |
. . 3
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2 | eluzfz2 10088 |
. . 3
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. 2
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4 | eleq1 2256 |
. . . . . 6
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5 | fveq2 5546 |
. . . . . . 7
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6 | fvoveq1 5933 |
. . . . . . 7
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7 | 5, 6 | eqeq12d 2208 |
. . . . . 6
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8 | 4, 7 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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9 | 8 | imbi2d 230 |
. . . 4
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10 | eleq1 2256 |
. . . . . 6
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11 | fveq2 5546 |
. . . . . . 7
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12 | fvoveq1 5933 |
. . . . . . 7
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13 | 11, 12 | eqeq12d 2208 |
. . . . . 6
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14 | 10, 13 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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15 | 14 | imbi2d 230 |
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16 | eleq1 2256 |
. . . . . 6
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17 | fveq2 5546 |
. . . . . . 7
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18 | fvoveq1 5933 |
. . . . . . 7
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19 | 17, 18 | eqeq12d 2208 |
. . . . . 6
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20 | 16, 19 | imbi12d 234 |
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21 | 20 | imbi2d 230 |
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22 | eleq1 2256 |
. . . . . 6
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23 | fveq2 5546 |
. . . . . . 7
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24 | fvoveq1 5933 |
. . . . . . 7
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25 | 23, 24 | eqeq12d 2208 |
. . . . . 6
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26 | 22, 25 | imbi12d 234 |
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27 | 26 | imbi2d 230 |
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28 | fveq2 5546 |
. . . . . . . 8
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29 | fvoveq1 5933 |
. . . . . . . 8
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30 | 28, 29 | eqeq12d 2208 |
. . . . . . 7
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31 | seqshft2.3 |
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32 | 31 | ralrimiva 2567 |
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33 | eluzfz1 10087 |
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34 | 1, 33 | syl 14 |
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35 | 30, 32, 34 | rspcdva 2869 |
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36 | eluzel2 9587 |
. . . . . . . 8
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37 | 1, 36 | syl 14 |
. . . . . . 7
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38 | seqshft2g.f |
. . . . . . 7
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39 | seqshft2g.p |
. . . . . . 7
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40 | seq1g 10524 |
. . . . . . 7
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41 | 37, 38, 39, 40 | syl3anc 1249 |
. . . . . 6
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42 | seqshft2.2 |
. . . . . . . 8
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43 | 37, 42 | zaddcld 9433 |
. . . . . . 7
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44 | seqshft2g.g |
. . . . . . 7
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45 | seq1g 10524 |
. . . . . . 7
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46 | 43, 44, 39, 45 | syl3anc 1249 |
. . . . . 6
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47 | 35, 41, 46 | 3eqtr4d 2236 |
. . . . 5
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48 | 47 | a1i13 24 |
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63 | seqp1g 10527 |
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69 | ax-1cn 7955 |
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70 | add32 8168 |
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74 | 73 | fveq2d 5550 |
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77 | 75, 76 | eqeq12d 2208 |
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80 | 77, 78, 79 | rspcdva 2869 |
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81 | 73 | fveq2d 5550 |
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82 | 80, 81 | eqtrd 2226 |
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83 | 82 | oveq2d 5926 |
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84 | 64, 74, 83 | 3eqtr4d 2236 |
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85 | 58, 84 | eqeq12d 2208 |
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88 | 9, 15, 21, 27, 48, 87 | uzind4 9643 |
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89 | 1, 88 | mpcom 36 |
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90 | 3, 89 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4462 ax-setind 4565 ax-iinf 4616 ax-cnex 7953 ax-resscn 7954 ax-1cn 7955 ax-1re 7956 ax-icn 7957 ax-addcl 7958 ax-addrcl 7959 ax-mulcl 7960 ax-addcom 7962 ax-addass 7964 ax-distr 7966 ax-i2m1 7967 ax-0lt1 7968 ax-0id 7970 ax-rnegex 7971 ax-cnre 7973 ax-pre-ltirr 7974 ax-pre-ltwlin 7975 ax-pre-lttrn 7976 ax-pre-ltadd 7978 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4322 df-iord 4395 df-on 4397 df-ilim 4398 df-suc 4400 df-iom 4619 df-xp 4661 df-rel 4662 df-cnv 4663 df-co 4664 df-dm 4665 df-rn 4666 df-res 4667 df-ima 4668 df-iota 5207 df-fun 5248 df-fn 5249 df-f 5250 df-f1 5251 df-fo 5252 df-f1o 5253 df-fv 5254 df-riota 5865 df-ov 5913 df-oprab 5914 df-mpo 5915 df-1st 6184 df-2nd 6185 df-recs 6349 df-frec 6435 df-pnf 8046 df-mnf 8047 df-xr 8048 df-ltxr 8049 df-le 8050 df-sub 8182 df-neg 8183 df-inn 8973 df-n0 9231 df-z 9308 df-uz 9583 df-fz 10065 df-seqfrec 10509 |
This theorem is referenced by: seqf1oglem2 10581 |
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