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Theorem seq3shft2 10253
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3shft2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seq3shft2.2  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
seq3shft2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
seq3shft2.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seq3shft2.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  S
)
seq3shft2.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seq3shft2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    k, F, x    y, F   
k, G, x    y, G    k, K, x    y, K    k, M, x    y, M    k, N, x    y, N    x, S, y    ph, k, x    ph, y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    S( k)

Proof of Theorem seq3shft2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3shft2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 9819 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2202 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )
6 fvoveq1 5797 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( M  +  K )
) )
75, 6eqeq12d 2154 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) )
84, 7imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) ) )
98imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) ) ) )
10 eleq1 2202 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
11 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )
12 fvoveq1 5797 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )
1311, 12eqeq12d 2154 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) ) ) )
1410, 13imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( n  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) ) ) ) )
1514imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) ) ) ) ) )
16 eleq1 2202 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
17 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
18 fvoveq1 5797 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) )
1917, 18eqeq12d 2154 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) )
2016, 19imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
2120imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
22 eleq1 2202 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
23 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
24 fvoveq1 5797 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( N  +  K )
) )
2523, 24eqeq12d 2154 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) )
2622, 25imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) ) )
2726imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) ) ) )
28 fveq2 5421 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
29 fvoveq1 5797 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  ( k  +  K ) )  =  ( G `  ( M  +  K )
) )
3028, 29eqeq12d 2154 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) )  <->  ( F `  M )  =  ( G `  ( M  +  K ) ) ) )
31 seq3shft2.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
3231ralrimiva 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) ) )
33 eluzfz1 9818 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
341, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
3530, 32, 34rspcdva 2794 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( G `
 ( M  +  K ) ) )
36 eluzel2 9338 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
371, 36syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
38 seq3shft2.f . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
39 seq3shft2.pl . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
4037, 38, 39seq3-1 10240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
41 seq3shft2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
4237, 41zaddcld 9184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
43 seq3shft2.g . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  S
)
4442, 43, 39seq3-1 10240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) )  =  ( G `  ( M  +  K )
) )
4535, 40, 443eqtr4d 2182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) ) )
4645a1i13 24 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( M  +  K )
) ) ) )
47 peano2fzr 9824 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
4847adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
4948expr 372 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5049imim1d 75 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) ) ) )
51 oveq1 5781 . . . . . 6  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
52 simprl 520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5338adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
5439adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
5552, 53, 54seq3p1 10242 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5641adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
57 eluzadd 9361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
n  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
5852, 56, 57syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
5943adantlr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  S
)
6058, 59, 54seq3p1 10242 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
61 eluzelz 9342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
6252, 61syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
6362zcnd 9181 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  CC )
64 1cnd 7789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  1  e.  CC )
6556zcnd 9181 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  K  e.  CC )
6663, 64, 65add32d 7937 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  +  K )  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
6766fveq2d 5425 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) ) )
68 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
69 fvoveq1 5797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  ( k  +  K ) )  =  ( G `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) )
7068, 69eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  +  K ) ) ) )
7132adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
72 simprr 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
7370, 71, 72rspcdva 2794 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  +  K ) ) )
7466fveq2d 5425 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( G `  ( ( n  + 
1 )  +  K
) )  =  ( G `  ( ( n  +  K )  +  1 ) ) )
7573, 74eqtrd 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  K )  +  1 ) ) )
7675oveq2d 5790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
7760, 67, 763eqtr4d 2182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  =  ( (  seq ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7855, 77eqeq12d 2154 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  <->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7951, 78syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) )
8050, 79animpimp2impd 548 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
819, 15, 21, 27, 46, 80uzind4 9390 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) ) )
821, 81mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) )
833, 82mpd 13 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7628    + caddc 7630   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797    seqcseq 10225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-seqfrec 10226
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10278  seq3shft  10617
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