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Theorem seq3shft2 10429
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3shft2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seq3shft2.2  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
seq3shft2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
seq3shft2.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seq3shft2.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  S
)
seq3shft2.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seq3shft2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    k, F, x    y, F   
k, G, x    y, G    k, K, x    y, K    k, M, x    y, M    k, N, x    y, N    x, S, y    ph, k, x    ph, y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    S( k)

Proof of Theorem seq3shft2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3shft2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 9988 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2233 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )
6 fvoveq1 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( M  +  K )
) )
75, 6eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) )
84, 7imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) ) )
98imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( M  +  K ) ) ) ) ) )
10 eleq1 2233 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
11 fveq2 5496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )
12 fvoveq1 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )
1311, 12eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) ) ) )
1410, 13imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( n  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) ) ) ) )
1514imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) ) ) ) ) )
16 eleq1 2233 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
17 fveq2 5496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
18 fvoveq1 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) )
1917, 18eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) )
2016, 19imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) )
2120imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( (
n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
22 eleq1 2233 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
23 fveq2 5496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
24 fvoveq1 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( N  +  K )
) )
2523, 24eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) )  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) )
2622, 25imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( x  +  K ) ) )  <-> 
( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) ) )
2726imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
x  +  K ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) ) ) )
28 fveq2 5496 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
29 fvoveq1 5876 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  ( k  +  K ) )  =  ( G `  ( M  +  K )
) )
3028, 29eqeq12d 2185 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) )  <->  ( F `  M )  =  ( G `  ( M  +  K ) ) ) )
31 seq3shft2.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
3231ralrimiva 2543 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) ) )
33 eluzfz1 9987 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
341, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
3530, 32, 34rspcdva 2839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( G `
 ( M  +  K ) ) )
36 eluzel2 9492 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
371, 36syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
38 seq3shft2.f . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
39 seq3shft2.pl . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
4037, 38, 39seq3-1 10416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
41 seq3shft2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
4237, 41zaddcld 9338 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
43 seq3shft2.g . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  S
)
4442, 43, 39seq3-1 10416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) )  =  ( G `  ( M  +  K )
) )
4535, 40, 443eqtr4d 2213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( M  +  K ) ) )
4645a1i13 24 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  ( M  +  K )
) ) ) )
47 peano2fzr 9993 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
4847adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
4948expr 373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5049imim1d 75 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) ) ) )
51 oveq1 5860 . . . . . 6  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
52 simprl 526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5338adantlr 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
5439adantlr 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
5552, 53, 54seq3p1 10418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5641adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
57 eluzadd 9515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
n  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
5852, 56, 57syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
5943adantlr 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  S
)
6058, 59, 54seq3p1 10418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
61 eluzelz 9496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
6252, 61syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
6362zcnd 9335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  CC )
64 1cnd 7936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  1  e.  CC )
6556zcnd 9335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  K  e.  CC )
6663, 64, 65add32d 8087 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  +  K )  =  ( ( n  +  K )  +  1 ) )
6766fveq2d 5500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  K
)  +  1 ) ) )
68 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
69 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  ( k  +  K ) )  =  ( G `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) )
7068, 69eqeq12d 2185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 ( k  +  K ) )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  +  K ) ) ) )
7132adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  =  ( G `  ( k  +  K ) ) )
72 simprr 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
7370, 71, 72rspcdva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  1 )  +  K ) ) )
7466fveq2d 5500 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( G `  ( ( n  + 
1 )  +  K
) )  =  ( G `  ( ( n  +  K )  +  1 ) ) )
7573, 74eqtrd 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( n  +  K )  +  1 ) ) )
7675oveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( G `
 ( ( n  +  K )  +  1 ) ) ) )
7760, 67, 763eqtr4d 2213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  =  ( (  seq ( M  +  K ) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  .+  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7855, 77eqeq12d 2185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) )  <->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  K ) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7951, 78syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) )
8050, 79animpimp2impd 554 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
n  +  K ) ) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq ( M  +  K
) (  .+  ,  G ) `  (
( n  +  1 )  +  K ) ) ) ) ) )
819, 15, 21, 27, 46, 80uzind4 9547 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) ) )
821, 81mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq ( M  +  K )
(  .+  ,  G
) `  ( N  +  K ) ) ) )
833, 82mpd 13 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq ( M  +  K ) ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  +  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1c1 7775    + caddc 7777   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965    seqcseq 10401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-seqfrec 10402
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3shft  10802
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