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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > seq3shft2 | Unicode version |
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Apr-2023.) |
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seq3shft2.1 |
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seq3shft2.2 |
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seq3shft2.3 |
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seq3shft2.f |
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seq3shft2.g |
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seq3shft2.pl |
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seq3shft2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | seq3shft2.1 |
. . 3
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2 | eluzfz2 10029 |
. . 3
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. 2
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4 | eleq1 2240 |
. . . . . 6
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5 | fveq2 5515 |
. . . . . . 7
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6 | fvoveq1 5897 |
. . . . . . 7
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7 | 5, 6 | eqeq12d 2192 |
. . . . . 6
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8 | 4, 7 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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9 | 8 | imbi2d 230 |
. . . 4
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10 | eleq1 2240 |
. . . . . 6
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11 | fveq2 5515 |
. . . . . . 7
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12 | fvoveq1 5897 |
. . . . . . 7
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13 | 11, 12 | eqeq12d 2192 |
. . . . . 6
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14 | 10, 13 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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15 | 14 | imbi2d 230 |
. . . 4
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16 | eleq1 2240 |
. . . . . 6
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17 | fveq2 5515 |
. . . . . . 7
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18 | fvoveq1 5897 |
. . . . . . 7
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19 | 17, 18 | eqeq12d 2192 |
. . . . . 6
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20 | 16, 19 | imbi12d 234 |
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21 | 20 | imbi2d 230 |
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22 | eleq1 2240 |
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23 | fveq2 5515 |
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24 | fvoveq1 5897 |
. . . . . . 7
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25 | 23, 24 | eqeq12d 2192 |
. . . . . 6
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26 | 22, 25 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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27 | 26 | imbi2d 230 |
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28 | fveq2 5515 |
. . . . . . . 8
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29 | fvoveq1 5897 |
. . . . . . . 8
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30 | 28, 29 | eqeq12d 2192 |
. . . . . . 7
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31 | seq3shft2.3 |
. . . . . . . 8
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32 | 31 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . 7
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33 | eluzfz1 10028 |
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34 | 1, 33 | syl 14 |
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35 | 30, 32, 34 | rspcdva 2846 |
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36 | eluzel2 9531 |
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37 | 1, 36 | syl 14 |
. . . . . . 7
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38 | seq3shft2.f |
. . . . . . 7
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39 | seq3shft2.pl |
. . . . . . 7
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40 | 37, 38, 39 | seq3-1 10457 |
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41 | seq3shft2.2 |
. . . . . . . 8
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42 | 37, 41 | zaddcld 9377 |
. . . . . . 7
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43 | seq3shft2.g |
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44 | 42, 43, 39 | seq3-1 10457 |
. . . . . 6
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45 | 35, 40, 44 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . 5
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46 | 45 | a1i13 24 |
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47 | peano2fzr 10034 |
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48 | 47 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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49 | 48 | expr 375 |
. . . . . 6
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50 | 49 | imim1d 75 |
. . . . 5
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51 | oveq1 5881 |
. . . . . 6
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52 | simprl 529 |
. . . . . . . 8
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53 | 38 | adantlr 477 |
. . . . . . . 8
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54 | 39 | adantlr 477 |
. . . . . . . 8
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55 | 52, 53, 54 | seq3p1 10459 |
. . . . . . 7
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56 | 41 | adantr 276 |
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57 | eluzadd 9554 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 52, 56, 57 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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59 | 43 | adantlr 477 |
. . . . . . . . 9
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60 | 58, 59, 54 | seq3p1 10459 |
. . . . . . . 8
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61 | eluzelz 9535 |
. . . . . . . . . . . 12
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62 | 52, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | 62 | zcnd 9374 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 1cnd 7972 |
. . . . . . . . . 10
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65 | 56 | zcnd 9374 |
. . . . . . . . . 10
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66 | 63, 64, 65 | add32d 8123 |
. . . . . . . . 9
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67 | 66 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . 8
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68 | fveq2 5515 |
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69 | fvoveq1 5897 |
. . . . . . . . . . . 12
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70 | 68, 69 | eqeq12d 2192 |
. . . . . . . . . . 11
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71 | 32 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
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72 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . 11
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73 | 70, 71, 72 | rspcdva 2846 |
. . . . . . . . . 10
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74 | 66 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . . . 10
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75 | 73, 74 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . . 9
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76 | 75 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . 8
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77 | 60, 67, 76 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . 7
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78 | 55, 77 | eqeq12d 2192 |
. . . . . 6
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79 | 51, 78 | imbitrrid 156 |
. . . . 5
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80 | 50, 79 | animpimp2impd 559 |
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81 | 9, 15, 21, 27, 46, 80 | uzind4 9586 |
. . 3
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82 | 1, 81 | mpcom 36 |
. 2
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83 | 3, 82 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-addcom 7910 ax-addass 7912 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-ltadd 7926 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-pnf 7992 df-mnf 7993 df-xr 7994 df-ltxr 7995 df-le 7996 df-sub 8128 df-neg 8129 df-inn 8918 df-n0 9175 df-z 9252 df-uz 9527 df-fz 10007 df-seqfrec 10443 |
This theorem is referenced by: seq3f1olemqsumkj 10495 seq3shft 10842 mulgnndir 13005 |
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