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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > seq3shft2 | Unicode version |
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Apr-2023.) |
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seq3shft2.1 |
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seq3shft2.2 |
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seq3shft2.3 |
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seq3shft2.f |
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seq3shft2.g |
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seq3shft2.pl |
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seq3shft2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | seq3shft2.1 |
. . 3
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2 | eluzfz2 9843 |
. . 3
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. 2
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4 | eleq1 2203 |
. . . . . 6
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5 | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
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6 | fvoveq1 5805 |
. . . . . . 7
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7 | 5, 6 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
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8 | 4, 7 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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9 | 8 | imbi2d 229 |
. . . 4
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10 | eleq1 2203 |
. . . . . 6
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11 | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
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12 | fvoveq1 5805 |
. . . . . . 7
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13 | 11, 12 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
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14 | 10, 13 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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15 | 14 | imbi2d 229 |
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16 | eleq1 2203 |
. . . . . 6
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17 | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
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18 | fvoveq1 5805 |
. . . . . . 7
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19 | 17, 18 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
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20 | 16, 19 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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21 | 20 | imbi2d 229 |
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22 | eleq1 2203 |
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23 | fveq2 5429 |
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24 | fvoveq1 5805 |
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25 | 23, 24 | eqeq12d 2155 |
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26 | 22, 25 | imbi12d 233 |
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27 | 26 | imbi2d 229 |
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28 | fveq2 5429 |
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29 | fvoveq1 5805 |
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30 | 28, 29 | eqeq12d 2155 |
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31 | seq3shft2.3 |
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32 | 31 | ralrimiva 2508 |
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33 | eluzfz1 9842 |
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34 | 1, 33 | syl 14 |
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35 | 30, 32, 34 | rspcdva 2798 |
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36 | eluzel2 9355 |
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37 | 1, 36 | syl 14 |
. . . . . . 7
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38 | seq3shft2.f |
. . . . . . 7
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39 | seq3shft2.pl |
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40 | 37, 38, 39 | seq3-1 10264 |
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41 | seq3shft2.2 |
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42 | 37, 41 | zaddcld 9201 |
. . . . . . 7
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43 | seq3shft2.g |
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44 | 42, 43, 39 | seq3-1 10264 |
. . . . . 6
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45 | 35, 40, 44 | 3eqtr4d 2183 |
. . . . 5
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46 | 45 | a1i13 24 |
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47 | peano2fzr 9848 |
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48 | 47 | adantl 275 |
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49 | 48 | expr 373 |
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50 | 49 | imim1d 75 |
. . . . 5
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51 | oveq1 5789 |
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52 | simprl 521 |
. . . . . . . 8
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53 | 38 | adantlr 469 |
. . . . . . . 8
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54 | 39 | adantlr 469 |
. . . . . . . 8
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55 | 52, 53, 54 | seq3p1 10266 |
. . . . . . 7
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57 | eluzadd 9378 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 52, 56, 57 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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59 | 43 | adantlr 469 |
. . . . . . . . 9
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60 | 58, 59, 54 | seq3p1 10266 |
. . . . . . . 8
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61 | eluzelz 9359 |
. . . . . . . . . . . 12
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62 | 52, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 1cnd 7806 |
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65 | 56 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . 10
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66 | 63, 64, 65 | add32d 7954 |
. . . . . . . . 9
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67 | 66 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . 8
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68 | fveq2 5429 |
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69 | fvoveq1 5805 |
. . . . . . . . . . . 12
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70 | 68, 69 | eqeq12d 2155 |
. . . . . . . . . . 11
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71 | 32 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
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72 | simprr 522 |
. . . . . . . . . . 11
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73 | 70, 71, 72 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . . 10
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74 | 66 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . 10
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75 | 73, 74 | eqtrd 2173 |
. . . . . . . . 9
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76 | 75 | oveq2d 5798 |
. . . . . . . 8
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77 | 60, 67, 76 | 3eqtr4d 2183 |
. . . . . . 7
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78 | 55, 77 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
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79 | 51, 78 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
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80 | 50, 79 | animpimp2impd 549 |
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81 | 9, 15, 21, 27, 46, 80 | uzind4 9410 |
. . 3
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82 | 1, 81 | mpcom 36 |
. 2
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83 | 3, 82 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-addcom 7744 ax-addass 7746 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-ltadd 7760 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-fz 9822 df-seqfrec 10250 |
This theorem is referenced by: seq3f1olemqsumkj 10302 seq3shft 10642 |
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