ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzadd GIF version

Theorem eluzadd 9361
Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzadd ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzadd
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9342 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 zaddcl 9101 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
31, 2sylan 281 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
4 eluzel2 9338 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
54adantr 274 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
65zred 9180 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
71adantr 274 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
87zred 9180 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 simpr 109 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
109zred 9180 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
11 simpl 108 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
12 eluz1 9337 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
135, 12syl 14 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
1411, 13mpbid 146 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
1514simprd 113 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀𝑁)
166, 8, 10, 15leadd1dd 8328 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
175, 9zaddcld 9184 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
18 eluz1 9337 . . 3 ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
1917, 18syl 14 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
203, 16, 19mpbir2and 928 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774   + caddc 7630  cle 7808  cz 9061  cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  seq3shft2  10253  shftuz  10596  isumshft  11266
  Copyright terms: Public domain W3C validator