Theorem enreceq 8053

Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 29-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enreceq	|- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~R = [ <. C , D >. ] ~R <-> ( A +P. D ) = ( B +P. C ) ) )

Proof of Theorem enreceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 8052	. . . 4 |- ~R Er ( P. X. P. )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) -> ~R Er ( P. X. P. ) )
3		opelxpi 4783	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
5	2, 4	erth 6815	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) -> ( <. A , B >. ~R <. C , D >. <-> [ <. A , B >. ] ~R = [ <. C , D >. ] ~R ) )
6		enrbreq 8051	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) -> ( <. A , B >. ~R <. C , D >. <-> ( A +P. D ) = ( B +P. C ) ) )
7	5, 6	bitr3d 190	1 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~R = [ <. C , D >. ] ~R <-> ( A +P. D ) = ( B +P. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   <.cop 3694   class class class wbr 4111   X. cxp 4749  (class class class)co 6052   Er wer 6766   [cec 6767   P.cnp 7608   +P. cpp 7610   ~R cer 7613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-eprel 4412  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7621  df-pli 7622  df-mi 7623  df-lti 7624  df-plpq 7661  df-mpq 7662  df-enq 7664  df-nqqs 7665  df-plqqs 7666  df-mqqs 7667  df-1nqqs 7668  df-rq 7669  df-ltnqqs 7670  df-enq0 7741  df-nq0 7742  df-0nq0 7743  df-plq0 7744  df-mq0 7745  df-inp 7783  df-iplp 7785  df-enr 8043

This theorem is referenced by:  ltsrprg  8064  m1p1sr  8077  m1m1sr  8078  0idsr  8084  1idsr  8085  00sr  8086  recexgt0sr  8090  aptisr  8096  srpospr  8100  prsradd  8103  map2psrprg  8122  pitonnlem1p1  8163  recidpirq  8175