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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulsrpr | Unicode version |
Description: Multiplication of signed reals in terms of positive reals. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) |
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mulsrpr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | opelxpi 4655 |
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2 | enrex 7727 |
. . . . 5
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3 | 2 | ecelqsi 6583 |
. . . 4
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4 | 1, 3 | syl 14 |
. . 3
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5 | opelxpi 4655 |
. . . 4
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6 | 2 | ecelqsi 6583 |
. . . 4
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7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
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8 | 4, 7 | anim12i 338 |
. 2
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9 | eqid 2177 |
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10 | eqid 2177 |
. . . 4
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11 | 9, 10 | pm3.2i 272 |
. . 3
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12 | eqid 2177 |
. . 3
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13 | opeq12 3778 |
. . . . . . . . 9
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14 | 13 | eceq1d 6565 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | eqeq2d 2189 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | anbi1d 465 |
. . . . . 6
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17 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 17 | oveq1d 5884 |
. . . . . . . . . 10
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19 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 19 | oveq1d 5884 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 18, 20 | oveq12d 5887 |
. . . . . . . . 9
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22 | 17 | oveq1d 5884 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 19 | oveq1d 5884 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 22, 23 | oveq12d 5887 |
. . . . . . . . 9
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25 | 21, 24 | opeq12d 3784 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | eceq1d 6565 |
. . . . . . 7
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27 | 26 | eqeq2d 2189 |
. . . . . 6
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28 | 16, 27 | anbi12d 473 |
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29 | 28 | spc2egv 2827 |
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30 | opeq12 3778 |
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31 | 30 | eceq1d 6565 |
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32 | 31 | eqeq2d 2189 |
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33 | 32 | anbi2d 464 |
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62 | df-mr 7719 |
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63 | df-nr 7717 |
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64 | 63 | eleq2i 2244 |
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65 | 63 | eleq2i 2244 |
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66 | 64, 65 | anbi12i 460 |
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67 | 66 | anbi1i 458 |
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68 | 67 | oprabbii 5924 |
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69 | 62, 68 | eqtri 2198 |
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70 | 60, 61, 69 | ovig 5990 |
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71 | 51, 70 | mp3an3 1326 |
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72 | 8, 49, 71 | sylc 62 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-eprel 4286 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-1o 6411 df-2o 6412 df-oadd 6415 df-omul 6416 df-er 6529 df-ec 6531 df-qs 6535 df-ni 7294 df-pli 7295 df-mi 7296 df-lti 7297 df-plpq 7334 df-mpq 7335 df-enq 7337 df-nqqs 7338 df-plqqs 7339 df-mqqs 7340 df-1nqqs 7341 df-rq 7342 df-ltnqqs 7343 df-enq0 7414 df-nq0 7415 df-0nq0 7416 df-plq0 7417 df-mq0 7418 df-inp 7456 df-iplp 7458 df-imp 7459 df-enr 7716 df-nr 7717 df-mr 7719 |
This theorem is referenced by: mulclsr 7744 mulcomsrg 7747 mulasssrg 7748 distrsrg 7749 m1m1sr 7751 1idsr 7758 00sr 7759 recexgt0sr 7763 mulgt0sr 7768 mulextsr1 7771 recidpirq 7848 |
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