Theorem mappsrprg 7871

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mappsrprg	|- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

Proof of Theorem mappsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7621	. . . . 5 |- 1P e. P.
2		addclpr 7604	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		ltaddpr 7664	. . . 4 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ A e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
7		df-m1r 7800	. . . . . 6 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
8	7	breq1i 4040	. . . . 5 |- ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R )
9	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> 1P e. P. )
10	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
11		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> A e. P. )
12		ltsrprg 7814	. . . . . 6 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( A e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
13	9, 10, 11, 9, 12	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
14	8, 13	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
16		m1r 7819	. . . 4 |- -1R e. R.
17		opelxpi 4695	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
18		enrex 7804	. . . . . . . 8 |- ~R e. _V
19	18	ecelqsi 6648	. . . . . . 7 |- ( <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
20	17, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
21	1, 20	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
22		df-nr 7794	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
23	21, 22	eleqtrrdi 2290	. . . 4 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
24		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> C e. R. )
25		ltasrg 7837	. . . 4 |- ( ( -1R e. R. /\ [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
26	16, 23, 24, 25	mp3an2ani 1355	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
27	15, 26	bitr3d 190	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
28	6, 27	mpbid 147	1 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   <.cop 3625   class class class wbr 4033   X. cxp 4661  (class class class)co 5922   [cec 6590   /.cqs 6591   P.cnp 7358   1Pc1p 7359   +P. cpp 7360   <P cltp 7362   ~R cer 7363   R.cnr 7364   -1Rcm1r 7367   +R cplr 7368   <R cltr 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-plr 7795  df-ltr 7797  df-m1r 7800

This theorem is referenced by:  map2psrprg  7872  suplocsrlemb  7873  suplocsrlem  7875