Theorem mappsrprg 7866

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mappsrprg	|- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

Proof of Theorem mappsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7616	. . . . 5 |- 1P e. P.
2		addclpr 7599	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		ltaddpr 7659	. . . 4 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ A e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
7		df-m1r 7795	. . . . . 6 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
8	7	breq1i 4037	. . . . 5 |- ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R )
9	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> 1P e. P. )
10	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
11		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> A e. P. )
12		ltsrprg 7809	. . . . . 6 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( A e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
13	9, 10, 11, 9, 12	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
14	8, 13	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
16		m1r 7814	. . . 4 |- -1R e. R.
17		opelxpi 4692	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
18		enrex 7799	. . . . . . . 8 |- ~R e. _V
19	18	ecelqsi 6645	. . . . . . 7 |- ( <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
20	17, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
21	1, 20	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
22		df-nr 7789	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
23	21, 22	eleqtrrdi 2287	. . . 4 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
24		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> C e. R. )
25		ltasrg 7832	. . . 4 |- ( ( -1R e. R. /\ [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
26	16, 23, 24, 25	mp3an2ani 1355	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
27	15, 26	bitr3d 190	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
28	6, 27	mpbid 147	1 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   <.cop 3622   class class class wbr 4030   X. cxp 4658  (class class class)co 5919   [cec 6587   /.cqs 6588   P.cnp 7353   1Pc1p 7354   +P. cpp 7355   <P cltp 7357   ~R cer 7358   R.cnr 7359   -1Rcm1r 7362   +R cplr 7363   <R cltr 7365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-enq0 7486  df-nq0 7487  df-0nq0 7488  df-plq0 7489  df-mq0 7490  df-inp 7528  df-i1p 7529  df-iplp 7530  df-iltp 7532  df-enr 7788  df-nr 7789  df-plr 7790  df-ltr 7792  df-m1r 7795

This theorem is referenced by:  map2psrprg  7867  suplocsrlemb  7868  suplocsrlem  7870