Theorem mappsrprg 8171

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mappsrprg	|- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

Proof of Theorem mappsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7921	. . . . 5 |- 1P e. P.
2		addclpr 7904	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 430	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		ltaddpr 7964	. . . 4 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ A e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
5	3, 4	mpan 428	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
7		df-m1r 8100	. . . . . 6 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
8	7	breq1i 4137	. . . . 5 |- ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R )
9	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> 1P e. P. )
10	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
11		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> A e. P. )
12		ltsrprg 8114	. . . . . 6 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( A e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
13	9, 10, 11, 9, 12	syl22anc 1279	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
14	8, 13	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
16		m1r 8119	. . . 4 |- -1R e. R.
17		opelxpi 4806	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
18		enrex 8104	. . . . . . . 8 |- ~R e. _V
19	18	ecelqsi 6863	. . . . . . 7 |- ( <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
20	17, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
21	1, 20	mpan2 429	. . . . 5 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
22		df-nr 8094	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
23	21, 22	eleqtrrdi 2332	. . . 4 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
24		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> C e. R. )
25		ltasrg 8137	. . . 4 |- ( ( -1R e. R. /\ [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
26	16, 23, 24, 25	mp3an2ani 1385	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
27	15, 26	bitr3d 190	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
28	6, 27	mpbid 147	1 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4130   X. cxp 4772  (class class class)co 6085   [cec 6805   /.cqs 6806   P.cnp 7658   1Pc1p 7659   +P. cpp 7660   <P cltp 7662   ~R cer 7663   R.cnr 7664   -1Rcm1r 7667   +R cplr 7668   <R cltr 7670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-enq0 7791  df-nq0 7792  df-0nq0 7793  df-plq0 7794  df-mq0 7795  df-inp 7833  df-i1p 7834  df-iplp 7835  df-iltp 7837  df-enr 8093  df-nr 8094  df-plr 8095  df-ltr 8097  df-m1r 8100

This theorem is used by:  map2psrprg  8172  suplocsrlemb  8173  suplocsrlem  8175