Theorem mappsrprg 7864

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mappsrprg	|- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

Proof of Theorem mappsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7614	. . . . 5 |- 1P e. P.
2		addclpr 7597	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		ltaddpr 7657	. . . 4 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ A e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
7		df-m1r 7793	. . . . . 6 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
8	7	breq1i 4036	. . . . 5 |- ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R )
9	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> 1P e. P. )
10	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
11		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> A e. P. )
12		ltsrprg 7807	. . . . . 6 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( A e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
13	9, 10, 11, 9, 12	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
14	8, 13	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
16		m1r 7812	. . . 4 |- -1R e. R.
17		opelxpi 4691	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
18		enrex 7797	. . . . . . . 8 |- ~R e. _V
19	18	ecelqsi 6643	. . . . . . 7 |- ( <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
20	17, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
21	1, 20	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
22		df-nr 7787	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
23	21, 22	eleqtrrdi 2287	. . . 4 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
24		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> C e. R. )
25		ltasrg 7830	. . . 4 |- ( ( -1R e. R. /\ [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
26	16, 23, 24, 25	mp3an2ani 1355	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
27	15, 26	bitr3d 190	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
28	6, 27	mpbid 147	1 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   <.cop 3621   class class class wbr 4029   X. cxp 4657  (class class class)co 5918   [cec 6585   /.cqs 6586   P.cnp 7351   1Pc1p 7352   +P. cpp 7353   <P cltp 7355   ~R cer 7356   R.cnr 7357   -1Rcm1r 7360   +R cplr 7361   <R cltr 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-iltp 7530  df-enr 7786  df-nr 7787  df-plr 7788  df-ltr 7790  df-m1r 7793

This theorem is referenced by:  map2psrprg  7865  suplocsrlemb  7866  suplocsrlem  7868