Theorem mappsrprg 8014

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mappsrprg	|- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

Proof of Theorem mappsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7764	. . . . 5 |- 1P e. P.
2		addclpr 7747	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		ltaddpr 7807	. . . 4 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ A e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
5	3, 4	mpan 424	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) )
7		df-m1r 7943	. . . . . 6 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
8	7	breq1i 4093	. . . . 5 |- ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R )
9	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> 1P e. P. )
10	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
11		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> A e. P. )
12		ltsrprg 7957	. . . . . 6 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( A e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
13	9, 10, 11, 9, 12	syl22anc 1272	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
14	8, 13	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) ) )
16		m1r 7962	. . . 4 |- -1R e. R.
17		opelxpi 4755	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
18		enrex 7947	. . . . . . . 8 |- ~R e. _V
19	18	ecelqsi 6753	. . . . . . 7 |- ( <. A , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
20	17, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
21	1, 20	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
22		df-nr 7937	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
23	21, 22	eleqtrrdi 2323	. . . 4 |- ( A e. P. -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
24		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> C e. R. )
25		ltasrg 7980	. . . 4 |- ( ( -1R e. R. /\ [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
26	16, 23, 24, 25	mp3an2ani 1378	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R [ <. A , 1P >. ] ~R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
27	15, 26	bitr3d 190	. 2 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) ) )
28	6, 27	mpbid 147	1 |- ( ( A e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   <.cop 3670   class class class wbr 4086   X. cxp 4721  (class class class)co 6013   [cec 6695   /.cqs 6696   P.cnp 7501   1Pc1p 7502   +P. cpp 7503   <P cltp 7505   ~R cer 7506   R.cnr 7507   -1Rcm1r 7510   +R cplr 7511   <R cltr 7513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-pli 7515  df-mi 7516  df-lti 7517  df-plpq 7554  df-mpq 7555  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-plqqs 7559  df-mqqs 7560  df-1nqqs 7561  df-rq 7562  df-ltnqqs 7563  df-enq0 7634  df-nq0 7635  df-0nq0 7636  df-plq0 7637  df-mq0 7638  df-inp 7676  df-i1p 7677  df-iplp 7678  df-iltp 7680  df-enr 7936  df-nr 7937  df-plr 7938  df-ltr 7940  df-m1r 7943

This theorem is referenced by:  map2psrprg  8015  suplocsrlemb  8016  suplocsrlem  8018