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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ltsrprg | Unicode version |
Description: Ordering of signed reals in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jan-2019.) |
Ref | Expression |
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ltsrprg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | enrex 7714 |
. 2
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2 | enrer 7712 |
. 2
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3 | df-nr 7704 |
. 2
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4 | df-ltr 7707 |
. 2
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5 | enreceq 7713 |
. . . . 5
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6 | enreceq 7713 |
. . . . . 6
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7 | eqcom 2179 |
. . . . . 6
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8 | 6, 7 | bitrdi 196 |
. . . . 5
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9 | 5, 8 | bi2anan9 606 |
. . . 4
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10 | oveq12 5877 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | adantl 277 |
. . . . . 6
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12 | simprlr 538 |
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13 | simplrr 536 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | addcomprg 7555 |
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15 | 14 | oveq1d 5883 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | 12, 13, 15 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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17 | simprrl 539 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | addassprg 7556 |
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19 | 12, 13, 17, 18 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . 10
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20 | addassprg 7556 |
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21 | 13, 12, 17, 20 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 16, 19, 21 | 3eqtr3d 2218 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | oveq2d 5884 |
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24 | simplll 533 |
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25 | addclpr 7514 |
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26 | 25 | ad2ant2lr 510 |
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27 | addclpr 7514 |
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28 | 27 | ad2ant2lr 510 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 26, 28 | anim12ci 339 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | an4s 588 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 30 | simpld 112 |
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32 | addassprg 7556 |
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33 | 24, 12, 31, 32 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . 8
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34 | addclpr 7514 |
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35 | 12, 17, 34 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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36 | addassprg 7556 |
. . . . . . . . 9
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37 | 24, 13, 35, 36 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . 8
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38 | 23, 33, 37 | 3eqtr4d 2220 |
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39 | 38 | adantr 276 |
. . . . . 6
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40 | simprll 537 |
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41 | simplrl 535 |
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42 | addcomprg 7555 |
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68 | addclpr 7514 |
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75 | 1, 2, 3, 4, 74 | brecop 6618 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-iinf 4583 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-eprel 4285 df-id 4289 df-po 4292 df-iso 4293 df-iord 4362 df-on 4364 df-suc 4367 df-iom 4586 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-rn 4633 df-res 4634 df-ima 4635 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fn 5214 df-f 5215 df-f1 5216 df-fo 5217 df-f1o 5218 df-fv 5219 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-1st 6134 df-2nd 6135 df-recs 6299 df-irdg 6364 df-1o 6410 df-2o 6411 df-oadd 6414 df-omul 6415 df-er 6528 df-ec 6530 df-qs 6534 df-ni 7281 df-pli 7282 df-mi 7283 df-lti 7284 df-plpq 7321 df-mpq 7322 df-enq 7324 df-nqqs 7325 df-plqqs 7326 df-mqqs 7327 df-1nqqs 7328 df-rq 7329 df-ltnqqs 7330 df-enq0 7401 df-nq0 7402 df-0nq0 7403 df-plq0 7404 df-mq0 7405 df-inp 7443 df-iplp 7445 df-iltp 7447 df-enr 7703 df-nr 7704 df-ltr 7707 |
This theorem is referenced by: gt0srpr 7725 lttrsr 7739 ltposr 7740 ltsosr 7741 0lt1sr 7742 ltasrg 7747 aptisr 7756 mulextsr1 7758 archsr 7759 prsrlt 7764 ltpsrprg 7780 mappsrprg 7781 map2psrprg 7782 pitoregt0 7826 |
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