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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ltsrprg | Unicode version |
Description: Ordering of signed reals in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jan-2019.) |
Ref | Expression |
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ltsrprg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | enrex 7767 |
. 2
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2 | enrer 7765 |
. 2
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3 | df-nr 7757 |
. 2
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4 | df-ltr 7760 |
. 2
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5 | enreceq 7766 |
. . . . 5
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6 | enreceq 7766 |
. . . . . 6
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7 | eqcom 2191 |
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8 | 6, 7 | bitrdi 196 |
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9 | 5, 8 | bi2anan9 606 |
. . . 4
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10 | oveq12 5906 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | adantl 277 |
. . . . . 6
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12 | simprlr 538 |
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13 | simplrr 536 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | addcomprg 7608 |
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15 | 14 | oveq1d 5912 |
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16 | 12, 13, 15 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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17 | simprrl 539 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | addassprg 7609 |
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19 | 12, 13, 17, 18 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . 10
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20 | addassprg 7609 |
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21 | 13, 12, 17, 20 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 16, 19, 21 | 3eqtr3d 2230 |
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23 | 22 | oveq2d 5913 |
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24 | simplll 533 |
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25 | addclpr 7567 |
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26 | 25 | ad2ant2lr 510 |
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27 | addclpr 7567 |
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28 | 27 | ad2ant2lr 510 |
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29 | 26, 28 | anim12ci 339 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | an4s 588 |
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31 | 30 | simpld 112 |
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32 | addassprg 7609 |
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33 | 24, 12, 31, 32 | syl3anc 1249 |
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34 | addclpr 7567 |
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35 | 12, 17, 34 | syl2anc 411 |
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36 | addassprg 7609 |
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37 | 24, 13, 35, 36 | syl3anc 1249 |
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38 | 23, 33, 37 | 3eqtr4d 2232 |
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39 | 38 | adantr 276 |
. . . . . 6
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40 | simprll 537 |
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41 | simplrl 535 |
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42 | addcomprg 7608 |
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68 | addclpr 7567 |
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75 | 1, 2, 3, 4, 74 | brecop 6652 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-eprel 4307 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-recs 6331 df-irdg 6396 df-1o 6442 df-2o 6443 df-oadd 6446 df-omul 6447 df-er 6560 df-ec 6562 df-qs 6566 df-ni 7334 df-pli 7335 df-mi 7336 df-lti 7337 df-plpq 7374 df-mpq 7375 df-enq 7377 df-nqqs 7378 df-plqqs 7379 df-mqqs 7380 df-1nqqs 7381 df-rq 7382 df-ltnqqs 7383 df-enq0 7454 df-nq0 7455 df-0nq0 7456 df-plq0 7457 df-mq0 7458 df-inp 7496 df-iplp 7498 df-iltp 7500 df-enr 7756 df-nr 7757 df-ltr 7760 |
This theorem is referenced by: gt0srpr 7778 lttrsr 7792 ltposr 7793 ltsosr 7794 0lt1sr 7795 ltasrg 7800 aptisr 7809 mulextsr1 7811 archsr 7812 prsrlt 7817 ltpsrprg 7833 mappsrprg 7834 map2psrprg 7835 pitoregt0 7879 |
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