ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prsrcl Unicode version

Theorem prsrcl 7774
Description: Mapping from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
prsrcl  |-  ( A  e.  P.  ->  [ <. ( A  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )

Proof of Theorem prsrcl
StepHypRef Expression
1 1pr 7544 . . . 4  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 7527 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( A  +P.  1P )  e.  P. )
31, 2mpan2 425 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  +P.  1P )  e. 
P. )
4 opelxpi 4655 . . . 4  |-  ( ( ( A  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  <. ( A  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
51, 4mpan2 425 . . 3  |-  ( ( A  +P.  1P )  e.  P.  ->  <. ( A  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
6 enrex 7727 . . . 4  |-  ~R  e.  _V
76ecelqsi 6583 . . 3  |-  ( <.
( A  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. ( A  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
83, 5, 73syl 17 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  [ <. ( A  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
9 df-nr 7717 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
108, 9eleqtrrdi 2271 1  |-  ( A  e.  P.  ->  [ <. ( A  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2148   <.cop 3594    X. cxp 4621  (class class class)co 5869   [cec 6527   /.cqs 6528   P.cnp 7281   1Pc1p 7282    +P. cpp 7283    ~R cer 7286   R.cnr 7287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456  df-i1p 7457  df-iplp 7458  df-enr 7716  df-nr 7717
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7785  caucvgsrlemoffcau  7788  recidpirq  7848  axcaucvglemcau  7888
  Copyright terms: Public domain W3C validator