Theorem prsrcl 7716

Description: Mapping from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrcl	|- ( A e. P. -> [ <. ( A +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. R. )

Proof of Theorem prsrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7486	. . . 4 |- 1P e. P.
2		addclpr 7469	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A +P. 1P ) e. P. )
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. P. -> ( A +P. 1P ) e. P. )
4		opelxpi 4630	. . . 4 |- ( ( ( A +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. ( A +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
5	1, 4	mpan2 422	. . 3 |- ( ( A +P. 1P ) e. P. -> <. ( A +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
6		enrex 7669	. . . 4 |- ~R e. _V
7	6	ecelqsi 6546	. . 3 |- ( <. ( A +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( A +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
8	3, 5, 7	3syl 17	. 2 |- ( A e. P. -> [ <. ( A +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
9		df-nr 7659	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
10	8, 9	eleqtrrdi 2258	1 |- ( A e. P. -> [ <. ( A +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2135   <.cop 3573   X. cxp 4596  (class class class)co 5836   [cec 6490   /.cqs 6491   P.cnp 7223   1Pc1p 7224   +P. cpp 7225   ~R cer 7228   R.cnr 7229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-eprel 4261  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-1o 6375  df-2o 6376  df-oadd 6379  df-omul 6380  df-er 6492  df-ec 6494  df-qs 6498  df-ni 7236  df-pli 7237  df-mi 7238  df-lti 7239  df-plpq 7276  df-mpq 7277  df-enq 7279  df-nqqs 7280  df-plqqs 7281  df-mqqs 7282  df-1nqqs 7283  df-rq 7284  df-ltnqqs 7285  df-enq0 7356  df-nq0 7357  df-0nq0 7358  df-plq0 7359  df-mq0 7360  df-inp 7398  df-i1p 7399  df-iplp 7400  df-enr 7658  df-nr 7659

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7727  caucvgsrlemoffcau  7730  recidpirq  7790  axcaucvglemcau  7830