Theorem prsrcl 7838

Description: Mapping from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrcl	|- ( A e. P. -> [ <. ( A +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. R. )

Proof of Theorem prsrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7608	. . . 4 |- 1P e. P.
2		addclpr 7591	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A +P. 1P ) e. P. )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. P. -> ( A +P. 1P ) e. P. )
4		opelxpi 4689	. . . 4 |- ( ( ( A +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. ( A +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
5	1, 4	mpan2 425	. . 3 |- ( ( A +P. 1P ) e. P. -> <. ( A +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
6		enrex 7791	. . . 4 |- ~R e. _V
7	6	ecelqsi 6638	. . 3 |- ( <. ( A +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( A +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
8	3, 5, 7	3syl 17	. 2 |- ( A e. P. -> [ <. ( A +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
9		df-nr 7781	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
10	8, 9	eleqtrrdi 2287	1 |- ( A e. P. -> [ <. ( A +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   <.cop 3621   X. cxp 4655  (class class class)co 5914   [cec 6580   /.cqs 6581   P.cnp 7345   1Pc1p 7346   +P. cpp 7347   ~R cer 7350   R.cnr 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4567  ax-iinf 4618

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4318  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-suc 4400  df-iom 4621  df-xp 4663  df-rel 4664  df-cnv 4665  df-co 4666  df-dm 4667  df-rn 4668  df-res 4669  df-ima 4670  df-iota 5211  df-fun 5252  df-fn 5253  df-f 5254  df-f1 5255  df-fo 5256  df-f1o 5257  df-fv 5258  df-ov 5917  df-oprab 5918  df-mpo 5919  df-1st 6188  df-2nd 6189  df-recs 6353  df-irdg 6418  df-1o 6464  df-2o 6465  df-oadd 6468  df-omul 6469  df-er 6582  df-ec 6584  df-qs 6588  df-ni 7358  df-pli 7359  df-mi 7360  df-lti 7361  df-plpq 7398  df-mpq 7399  df-enq 7401  df-nqqs 7402  df-plqqs 7403  df-mqqs 7404  df-1nqqs 7405  df-rq 7406  df-ltnqqs 7407  df-enq0 7478  df-nq0 7479  df-0nq0 7480  df-plq0 7481  df-mq0 7482  df-inp 7520  df-i1p 7521  df-iplp 7522  df-enr 7780  df-nr 7781

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7849  caucvgsrlemoffcau  7852  recidpirq  7912  axcaucvglemcau  7952