Theorem recnnre 7879

Description: Embedding the reciprocal of a natural number into RR. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recnnre	|- ( N e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. RR )

Distinct variable group:   N, l, u

Proof of Theorem recnnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnnpr 7576	. . . . . 6 |- ( N e. N. -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. e. P. )
2		1pr 7582	. . . . . 6 |- 1P e. P.
3		addclpr 7565	. . . . . 6 |- ( ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) e. P. )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . 5 |- ( N e. N. -> ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) e. P. )
5		opelxpi 4676	. . . . 5 |- ( ( ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
6	4, 2, 5	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. N. -> <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
7		enrex 7765	. . . . 5 |- ~R e. _V
8	7	ecelqsi 6614	. . . 4 |- ( <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
9	6, 8	syl 14	. . 3 |- ( N e. N. -> [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
10		df-nr 7755	. . 3 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
11	9, 10	eleqtrrdi 2283	. 2 |- ( N e. N. -> [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. R. )
12		opelreal 7855	. 2 |- ( <. [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. RR <-> [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. R. )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( N e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   {cab 2175   <.cop 3610   class class class wbr 4018   X. cxp 4642   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   1oc1o 6433   [cec 6556   /.cqs 6557   N.cnpi 7300   ~Q ceq 7307   *Qcrq 7312   <Q cltq 7313   P.cnp 7319   1Pc1p 7320   +P. cpp 7321   ~R cer 7324   R.cnr 7325   0Rc0r 7326   RRcr 7839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-1o 6440  df-2o 6441  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-lti 7335  df-plpq 7372  df-mpq 7373  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-mqqs 7378  df-1nqqs 7379  df-rq 7380  df-ltnqqs 7381  df-enq0 7452  df-nq0 7453  df-0nq0 7454  df-plq0 7455  df-mq0 7456  df-inp 7494  df-i1p 7495  df-iplp 7496  df-enr 7754  df-nr 7755  df-0r 7759  df-r 7850

This theorem is referenced by:  recriota  7918