Theorem bcn1 11010

Description: Binomial coefficient: N choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	|- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9394	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		1eluzge0 9798	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		elnnuz 9783	. . . . . . 7 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		elfzuzb 10244	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
7	3, 5, 6	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 0 ... N ) )
8		bcval2 11002	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
10		facnn2 10986	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
11		fac1 10981	. . . . . . 7 |- ( ! ` 1 ) = 1
12	11	oveq2i 6024	. . . . . 6 |- ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 )
13		nnm1nn0 9433	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
14	13	faccld 10988	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. NN )
15	14	nncnd 9147	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. CC )
16	15	mulridd 8186	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
17	12, 16	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
18	10, 17	oveq12d 6031	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) )
19		nncn 9141	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
20	14	nnap0d 9179	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) # 0 )
21	19, 15, 20	divcanap3d 8965	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) = N )
22	9, 18, 21	3eqtrd 2266	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = N )
23		0nn0 9407	. . . . 5 |- 0 e. NN0
24		1z 9495	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
25		0lt1 8296	. . . . . 6 |- 0 < 1
26	25	olci 737	. . . . 5 |- ( 1 < 0 \/ 0 < 1 )
27		bcval4 11004	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. ZZ /\ ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) ) -> ( 0 _C 1 ) = 0 )
28	23, 24, 26, 27	mp3an 1371	. . . 4 |- ( 0 _C 1 ) = 0
29		oveq1 6020	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) )
30		eqeq12 2242	. . . . 5 |- ( ( ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) /\ N = 0 ) -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
31	29, 30	mpancom 422	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
32	28, 31	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = N )
33	22, 32	jaoi 721	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( N _C 1 ) = N )
34	1, 33	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   0cc0 8022   1c1 8023   x. cmul 8027   < clt 8204   - cmin 8340   / cdiv 8842   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233   !cfa 10977   _C cbc 10999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-fz 10234  df-seqfrec 10700  df-fac 10978  df-bc 11000

This theorem is referenced by:  bcnp1n  11011  bcn2m1  11021  bcn2p1  11022  bcnm1  11024