Theorem bcn1 10614

Description: Binomial coefficient: N choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	|- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9075	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		1eluzge0 9468	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		elnnuz 9458	. . . . . . 7 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	4	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		elfzuzb 9904	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
7	3, 5, 6	sylanbrc 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 0 ... N ) )
8		bcval2 10606	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
10		facnn2 10590	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
11		fac1 10585	. . . . . . 7 |- ( ! ` 1 ) = 1
12	11	oveq2i 5829	. . . . . 6 |- ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 )
13		nnm1nn0 9114	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
14	13	faccld 10592	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. NN )
15	14	nncnd 8830	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. CC )
16	15	mulid1d 7878	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
17	12, 16	syl5eq 2202	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
18	10, 17	oveq12d 5836	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) )
19		nncn 8824	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
20	14	nnap0d 8862	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) # 0 )
21	19, 15, 20	divcanap3d 8651	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) = N )
22	9, 18, 21	3eqtrd 2194	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = N )
23		0nn0 9088	. . . . 5 |- 0 e. NN0
24		1z 9176	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
25		0lt1 7985	. . . . . 6 |- 0 < 1
26	25	olci 722	. . . . 5 |- ( 1 < 0 \/ 0 < 1 )
27		bcval4 10608	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. ZZ /\ ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) ) -> ( 0 _C 1 ) = 0 )
28	23, 24, 26, 27	mp3an 1319	. . . 4 |- ( 0 _C 1 ) = 0
29		oveq1 5825	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) )
30		eqeq12 2170	. . . . 5 |- ( ( ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) /\ N = 0 ) -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
31	29, 30	mpancom 419	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
32	28, 31	mpbiri 167	. . 3 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = N )
33	22, 32	jaoi 706	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( N _C 1 ) = N )
34	1, 33	sylbi 120	1 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   0cc0 7715   1c1 7716   x. cmul 7720   < clt 7895   - cmin 8029   / cdiv 8528   NNcn 8816   NN0cn0 9073   ZZcz 9150   ZZ>=cuz 9422   ...cfz 9894   !cfa 10581   _C cbc 10603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-fz 9895  df-seqfrec 10327  df-fac 10582  df-bc 10604

This theorem is referenced by:  bcnp1n  10615  bcn2m1  10625  bcn2p1  10626  bcnm1  10628