Theorem bcn1 10131

Description: Binomial coefficient: N choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	|- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8645	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		1eluzge0 9031	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		elnnuz 9024	. . . . . . 7 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	4	biimpi 118	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		elfzuzb 9403	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
7	3, 5, 6	sylanbrc 408	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 0 ... N ) )
8		bcval2 10123	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
10		facnn2 10107	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
11		fac1 10102	. . . . . . 7 |- ( ! ` 1 ) = 1
12	11	oveq2i 5645	. . . . . 6 |- ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 )
13		nnm1nn0 8684	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
14	13	faccld 10109	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. NN )
15	14	nncnd 8408	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. CC )
16	15	mulid1d 7484	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
17	12, 16	syl5eq 2132	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
18	10, 17	oveq12d 5652	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) )
19		nncn 8402	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
20	14	nnap0d 8439	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) # 0 )
21	19, 15, 20	divcanap3d 8235	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) = N )
22	9, 18, 21	3eqtrd 2124	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = N )
23		0nn0 8658	. . . . 5 |- 0 e. NN0
24		1z 8746	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
25		0lt1 7589	. . . . . 6 |- 0 < 1
26	25	olci 686	. . . . 5 |- ( 1 < 0 \/ 0 < 1 )
27		bcval4 10125	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. ZZ /\ ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) ) -> ( 0 _C 1 ) = 0 )
28	23, 24, 26, 27	mp3an 1273	. . . 4 |- ( 0 _C 1 ) = 0
29		oveq1 5641	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) )
30		eqeq12 2100	. . . . 5 |- ( ( ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) /\ N = 0 ) -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
31	29, 30	mpancom 413	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
32	28, 31	mpbiri 166	. . 3 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = N )
33	22, 32	jaoi 671	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( N _C 1 ) = N )
34	1, 33	sylbi 119	1 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   0cc0 7329   1c1 7330   x. cmul 7334   < clt 7501   - cmin 7632   / cdiv 8113   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393   !cfa 10098   _C cbc 10120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-fz 9394  df-iseq 9818  df-fac 10099  df-bc 10121

This theorem is referenced by:  bcnp1n  10132  bcn2m1  10142  bcn2p1  10143  bcnm1  10145