Theorem bcn1 11174

Description: Binomial coefficient: N choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	|- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9544	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		1eluzge0 9953	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		elnnuz 9938	. . . . . . 7 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		elfzuzb 10401	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
7	3, 5, 6	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 0 ... N ) )
8		bcval2 11166	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
10		facnn2 11150	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
11		fac1 11145	. . . . . . 7 |- ( ! ` 1 ) = 1
12	11	oveq2i 6086	. . . . . 6 |- ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 )
13		nnm1nn0 9583	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
14	13	faccld 11152	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. NN )
15	14	nncnd 9297	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. CC )
16	15	mulridd 8333	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
17	12, 16	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
18	10, 17	oveq12d 6093	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) )
19		nncn 9291	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
20	14	nnap0d 9329	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) # 0 )
21	19, 15, 20	divcanap3d 9115	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) = N )
22	9, 18, 21	3eqtrd 2275	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = N )
23		0nn0 9557	. . . . 5 |- 0 e. NN0
24		1z 9649	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
25		0lt1 8443	. . . . . 6 |- 0 < 1
26	25	olci 744	. . . . 5 |- ( 1 < 0 \/ 0 < 1 )
27		bcval4 11168	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. ZZ /\ ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) ) -> ( 0 _C 1 ) = 0 )
28	23, 24, 26, 27	mp3an 1378	. . . 4 |- ( 0 _C 1 ) = 0
29		oveq1 6082	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) )
30		eqeq12 2251	. . . . 5 |- ( ( ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) /\ N = 0 ) -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
31	29, 30	mpancom 426	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
32	28, 31	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = N )
33	22, 32	jaoi 728	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( N _C 1 ) = N )
34	1, 33	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   < clt 8350   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   !cfa 11141   _C cbc 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-fac 11142  df-bc 11164

This theorem is referenced by:  bcnp1n  11175  bcn2m1  11186  bcn2p1  11187  bcnm1  11189