Theorem bcn1 10504

Description: Binomial coefficient: N choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	|- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8979	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		1eluzge0 9369	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		elnnuz 9362	. . . . . . 7 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5	4	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		elfzuzb 9800	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
7	3, 5, 6	sylanbrc 413	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. ( 0 ... N ) )
8		bcval2 10496	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) )
10		facnn2 10480	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) )
11		fac1 10475	. . . . . . 7 |- ( ! ` 1 ) = 1
12	11	oveq2i 5785	. . . . . 6 |- ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 )
13		nnm1nn0 9018	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
14	13	faccld 10482	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. NN )
15	14	nncnd 8734	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) e. CC )
16	15	mulid1d 7783	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. 1 ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
17	12, 16	syl5eq 2184	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) = ( ! ` ( N - 1 ) ) )
18	10, 17	oveq12d 5792	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. ( ! ` 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) )
19		nncn 8728	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
20	14	nnap0d 8766	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N - 1 ) ) # 0 )
21	19, 15, 20	divcanap3d 8555	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` ( N - 1 ) ) x. N ) / ( ! ` ( N - 1 ) ) ) = N )
22	9, 18, 21	3eqtrd 2176	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N _C 1 ) = N )
23		0nn0 8992	. . . . 5 |- 0 e. NN0
24		1z 9080	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
25		0lt1 7889	. . . . . 6 |- 0 < 1
26	25	olci 721	. . . . 5 |- ( 1 < 0 \/ 0 < 1 )
27		bcval4 10498	. . . . 5 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. ZZ /\ ( 1 < 0 \/ 0 < 1 ) ) -> ( 0 _C 1 ) = 0 )
28	23, 24, 26, 27	mp3an 1315	. . . 4 |- ( 0 _C 1 ) = 0
29		oveq1 5781	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) )
30		eqeq12 2152	. . . . 5 |- ( ( ( N _C 1 ) = ( 0 _C 1 ) /\ N = 0 ) -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
31	29, 30	mpancom 418	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N _C 1 ) = N <-> ( 0 _C 1 ) = 0 ) )
32	28, 31	mpbiri 167	. . 3 |- ( N = 0 -> ( N _C 1 ) = N )
33	22, 32	jaoi 705	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( N _C 1 ) = N )
34	1, 33	sylbi 120	1 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 1 ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7620   1c1 7621   x. cmul 7625   < clt 7800   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790   !cfa 10471   _C cbc 10493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-fz 9791  df-seqfrec 10219  df-fac 10472  df-bc 10494

This theorem is referenced by:  bcnp1n  10505  bcn2m1  10515  bcn2p1  10516  bcnm1  10518