ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn1 Unicode version

Theorem bcn1 10773
Description: Binomial coefficient:  N choose  1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 9209 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 1eluzge0 9606 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
4 elnnuz 9596 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
54biimpi 120 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6 elfzuzb 10051 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
) )
73, 5, 6sylanbrc 417 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( 0 ... N
) )
8 bcval2 10765 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
97, 8syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
10 facnn2 10749 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
11 fac1 10744 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1211oveq2i 5908 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  1 )
13 nnm1nn0 9248 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1413faccld 10751 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
1514nncnd 8964 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
1615mulridd 8005 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  1 )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
1712, 16eqtrid 2234 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
1810, 17oveq12d 5915 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N )  / 
( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )
19 nncn 8958 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2014nnap0d 8996 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) ) #  0 )
2119, 15, 20divcanap3d 8783 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
)  /  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )  =  N )
229, 18, 213eqtrd 2226 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
23 0nn0 9222 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
24 1z 9310 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
25 0lt1 8115 . . . . . 6  |-  0  <  1
2625olci 733 . . . . 5  |-  ( 1  <  0  \/  0  <  1 )
27 bcval4 10767 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  ZZ  /\  (
1  <  0  \/  0  <  1 ) )  ->  ( 0  _C  1 )  =  0 )
2823, 24, 26, 27mp3an 1348 . . . 4  |-  ( 0  _C  1 )  =  0
29 oveq1 5904 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  ( 0  _C  1
) )
30 eqeq12 2202 . . . . 5  |-  ( ( ( N  _C  1
)  =  ( 0  _C  1 )  /\  N  =  0 )  ->  ( ( N  _C  1 )  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3129, 30mpancom 422 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  _C  1
)  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3228, 31mpbiri 168 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
3322, 32jaoi 717 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
341, 33sylbi 121 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   0cc0 7842   1c1 7843    x. cmul 7847    < clt 8023    - cmin 8159    / cdiv 8660   NNcn 8950   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ZZ>=cuz 9559   ...cfz 10040   !cfa 10740    _C cbc 10762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-fz 10041  df-seqfrec 10479  df-fac 10741  df-bc 10763
This theorem is referenced by:  bcnp1n  10774  bcn2m1  10784  bcn2p1  10785  bcnm1  10787
  Copyright terms: Public domain W3C validator