Theorem fac4 10715

Description: The factorial of 4. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fac4	|- ( ! ` 4 ) = ; 2 4

Proof of Theorem fac4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9196	. . 3 |- 3 e. NN0
2		facp1 10712	. . 3 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
4		3p1e4 9056	. . 3 |- ( 3 + 1 ) = 4
5	4	fveq2i 5520	. 2 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ! ` 4 )
6		fac3 10714	. . . 4 |- ( ! ` 3 ) = 6
7	6, 4	oveq12i 5889	. . 3 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) = ( 6 x. 4 )
8		6t4e24 9491	. . 3 |- ( 6 x. 4 ) = ; 2 4
9	7, 8	eqtri 2198	. 2 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) = ; 2 4
10	3, 5, 9	3eqtr3i 2206	1 |- ( ! ` 4 ) = ; 2 4

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   2c2 8972   3c3 8973   4c4 8974   6c6 8976   NN0cn0 9178  ;cdc 9386   !cfa 10707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-dec 9387  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-fac 10708

This theorem is referenced by:  ex-fac  14565