Theorem fac4 10708

Description: The factorial of 4. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fac4	|- ( ! ` 4 ) = ; 2 4

Proof of Theorem fac4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9192	. . 3 |- 3 e. NN0
2		facp1 10705	. . 3 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
4		3p1e4 9052	. . 3 |- ( 3 + 1 ) = 4
5	4	fveq2i 5518	. 2 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ! ` 4 )
6		fac3 10707	. . . 4 |- ( ! ` 3 ) = 6
7	6, 4	oveq12i 5886	. . 3 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) = ( 6 x. 4 )
8		6t4e24 9487	. . 3 |- ( 6 x. 4 ) = ; 2 4
9	7, 8	eqtri 2198	. 2 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) = ; 2 4
10	3, 5, 9	3eqtr3i 2206	1 |- ( ! ` 4 ) = ; 2 4

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   1c1 7811   + caddc 7813   x. cmul 7815   2c2 8968   3c3 8969   4c4 8970   6c6 8972   NN0cn0 9174  ;cdc 9382   !cfa 10700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-dec 9383  df-uz 9527  df-seqfrec 10443  df-fac 10701

This theorem is referenced by:  ex-fac  14400