ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facp1 Unicode version

Theorem facp1 10488
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem facp1
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 8991 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnuz 9374 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
32biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4 fvi 5478 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  =  f )
5 eluzelcn 9349 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  f  e.  CC )
64, 5eqeltrd 2216 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
76adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  f  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
(  _I  `  f
)  e.  CC )
8 mulcl 7759 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  x.  g
)  e.  CC )
98adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC ) )  ->  ( f  x.  g )  e.  CC )
103, 7, 9seq3p1 10247 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
11 peano2nn 8744 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
12 fvi 5478 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (  _I  `  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
1311, 12syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (  _I  `  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
1413oveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
1510, 14eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
16 facnn 10485 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
1711, 16syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
18 facnn 10485 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1918oveq1d 5789 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
2015, 17, 193eqtr4d 2182 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
21 0p1e1 8846 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2221fveq2i 5424 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  ( ! `  1
)
23 fac1 10487 . . . . 5  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2422, 23eqtri 2160 . . . 4  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  1
25 fvoveq1 5797 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ! `  ( 0  +  1 ) ) )
26 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
27 oveq1 5781 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2826, 27oveq12d 5792 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 0 )  x.  ( 0  +  1 ) ) )
29 fac0 10486 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3029, 21oveq12i 5786 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  x.  1 )
31 1t1e1 8884 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3230, 31eqtri 2160 . . . . 5  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  1
3328, 32syl6eq 2188 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  1 )
3424, 25, 333eqtr4a 2198 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
3520, 34jaoi 705 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ! `  ( N  +  1
) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) ) )
361, 35sylbi 120 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480    _I cid 4210   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637   NNcn 8732   NN0cn0 8989   ZZ>=cuz 9338    seqcseq 10230   !cfa 10483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231  df-fac 10484
This theorem is referenced by:  fac2  10489  fac3  10490  fac4  10491  facnn2  10492  faccl  10493  facdiv  10496  facwordi  10498  faclbnd  10499  faclbnd6  10502  facubnd  10503  bcm1k  10518  bcp1n  10519  4bc2eq6  10532  efcllemp  11376  ef01bndlem  11474  eirraplem  11494  dvdsfac  11569  prmfac1  11841  ex-fac  12999
  Copyright terms: Public domain W3C validator