ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashen1 Unicode version

Theorem fihashen1 10552
Description: A finite set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashen1  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  =  1  <->  A  ~~  1o ) )

Proof of Theorem fihashen1
StepHypRef Expression
1 0ex 4055 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2 hashsng 10551 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( `  { (/)
} )  =  1 )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `  { (/)
} )  =  1
43eqcomi 2143 . . . 4  |-  1  =  ( `  { (/) } )
54a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  1  =  ( `  { (/) } ) )
65eqeq2d 2151 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  =  1  <->  ( `  A )  =  ( `  { (/) } ) ) )
7 snfig 6708 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  e.  Fin )
81, 7ax-mp 5 . . 3  |-  { (/) }  e.  Fin
9 hashen 10537 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  {
(/) }  e.  Fin )  ->  ( ( `  A
)  =  ( `  { (/)
} )  <->  A  ~~  {
(/) } ) )
108, 9mpan2 421 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  =  ( `  { (/) } )  <-> 
A  ~~  { (/) } ) )
11 df1o2 6326 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
1211eqcomi 2143 . . . 4  |-  { (/) }  =  1o
1312breq2i 3937 . . 3  |-  ( A 
~~  { (/) }  <->  A  ~~  1o )
1413a1i 9 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  ~~  { (/) }  <->  A  ~~  1o ) )
156, 10, 143bitrd 213 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  =  1  <->  A  ~~  1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1oc1o 6306    ~~ cen 6632   Fincfn 6634   1c1 7628  ♯chash 10528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-ihash 10529
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator