Theorem fihashen1 10873

Description: A finite set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashen1	|- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 1 <-> A ~~ 1o ) )

Proof of Theorem fihashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4157	. . . . . 6 |- (/) e. _V
2		hashsng 10872	. . . . . 6 |- ( (/) e. _V -> (♯ ` { (/) } ) = 1 )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- (♯ ` { (/) } ) = 1
4	3	eqcomi 2197	. . . 4 |- 1 = (♯ ` { (/) } )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( A e. Fin -> 1 = (♯ ` { (/) } ) )
6	5	eqeq2d 2205	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 1 <-> (♯ ` A ) = (♯ ` { (/) } ) ) )
7		snfig 6870	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
8	1, 7	ax-mp 5	. . 3 |- { (/) } e. Fin
9		hashen 10858	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ { (/) } e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` { (/) } ) <-> A ~~ { (/) } ) )
10	8, 9	mpan2 425	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` { (/) } ) <-> A ~~ { (/) } ) )
11		df1o2 6484	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
12	11	eqcomi 2197	. . . 4 |- { (/) } = 1o
13	12	breq2i 4038	. . 3 |- ( A ~~ { (/) } <-> A ~~ 1o )
14	13	a1i 9	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A ~~ { (/) } <-> A ~~ 1o ) )
15	6, 10, 14	3bitrd 214	1 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 1 <-> A ~~ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3447   {csn 3619   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   1oc1o 6464   ~~ cen 6794   Fincfn 6796   1c1 7875  ♯chash 10849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-recs 6360  df-frec 6446  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-ihash 10850

This theorem is referenced by: (None)