Theorem fihashen1 10322

Description: A finite set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashen1	|- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 1 <-> A ~~ 1o ) )

Proof of Theorem fihashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3987	. . . . . 6 |- (/) e. _V
2		hashsng 10321	. . . . . 6 |- ( (/) e. _V -> (♯ ` { (/) } ) = 1 )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- (♯ ` { (/) } ) = 1
4	3	eqcomi 2099	. . . 4 |- 1 = (♯ ` { (/) } )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( A e. Fin -> 1 = (♯ ` { (/) } ) )
6	5	eqeq2d 2106	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 1 <-> (♯ ` A ) = (♯ ` { (/) } ) ) )
7		snfig 6611	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
8	1, 7	ax-mp 7	. . 3 |- { (/) } e. Fin
9		hashen 10307	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ { (/) } e. Fin ) -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` { (/) } ) <-> A ~~ { (/) } ) )
10	8, 9	mpan2 417	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = (♯ ` { (/) } ) <-> A ~~ { (/) } ) )
11		df1o2 6232	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
12	11	eqcomi 2099	. . . 4 |- { (/) } = 1o
13	12	breq2i 3875	. . 3 |- ( A ~~ { (/) } <-> A ~~ 1o )
14	13	a1i 9	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A ~~ { (/) } <-> A ~~ 1o ) )
15	6, 10, 14	3bitrd 213	1 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 1 <-> A ~~ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1296   e. wcel 1445   _Vcvv 2633   (/)c0 3302   {csn 3466   class class class wbr 3867   ` cfv 5049   1oc1o 6212   ~~ cen 6535   Fincfn 6537   1c1 7448  ♯chash 10298

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-recs 6108  df-frec 6194  df-1o 6219  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-ihash 10299

This theorem is referenced by: (None)