Theorem filtinf 10789

Description: The size of an infinite set is greater than the size of a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
filtinf	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐵) → (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵))

Proof of Theorem filtinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3		ltpnf 9798	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ → (♯‘𝐴) < +∞)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) < +∞)
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐵) → (♯‘𝐴) < +∞)
6		hashinfom 10776	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐵 → (♯‘𝐵) = +∞)
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐵) → (♯‘𝐵) = +∞)
8	5, 7	breqtrrd 4046	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐵) → (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ωcom 4604  ‘cfv 5231   ≼ cdom 6757  Fincfn 6758  ℝcr 7828  +∞cpnf 8007   < clt 8010  ♯chash 10773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-ihash 10774

This theorem is referenced by: (None)