Theorem filtinf 10705

Description: The size of an infinite set is greater than the size of a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
filtinf	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐵) → (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵))

Proof of Theorem filtinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10694	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3		ltpnf 9716	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ → (♯‘𝐴) < +∞)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) < +∞)
5	4	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐵) → (♯‘𝐴) < +∞)
6		hashinfom 10691	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐵 → (♯‘𝐵) = +∞)
7	6	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐵) → (♯‘𝐵) = +∞)
8	5, 7	breqtrrd 4010	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝐵) → (♯‘𝐴) < (♯‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ωcom 4567  ‘cfv 5188   ≼ cdom 6705  Fincfn 6706  ℝcr 7752  +∞cpnf 7930   < clt 7933  ♯chash 10688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-ihash 10689

This theorem is referenced by: (None)