Theorem isfinite4im 10714

Description: A finite set is equinumerous to the range of integers from one up to the hash value of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite4im	|- ( A e. Fin -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A )

Proof of Theorem isfinite4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10702	. . 3 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2		hashfz1 10704	. . 3 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) = (♯ ` A ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. Fin -> (♯ ` ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) = (♯ ` A ) )
4		1z 9225	. . . 4 |- 1 e. ZZ
5	1	nn0zd 9319	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. ZZ )
6		fzfig 10373	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) e. Fin )
7	4, 5, 6	sylancr 412	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) e. Fin )
8		hashen 10705	. . 3 |- ( ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) = (♯ ` A ) <-> ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A ) )
9	7, 8	mpancom 420	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) = (♯ ` A ) <-> ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A ) )
10	3, 9	mpbid 146	1 |- ( A e. Fin -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   ~~ cen 6712   Fincfn 6714   1c1 7762   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   ...cfz 9952  ♯chash 10696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-ihash 10697

This theorem is referenced by:  fz1f1o  11325