ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isfinite4im Unicode version

Theorem isfinite4im 10570
Description: A finite set is equinumerous to the range of integers from one up to the hash value of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
isfinite4im  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
1 ... ( `  A
) )  ~~  A
)

Proof of Theorem isfinite4im
StepHypRef Expression
1 hashcl 10558 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
2 hashfz1 10560 . . 3  |-  ( ( `  A )  e.  NN0  ->  ( `  ( 1 ... ( `  A )
) )  =  ( `  A ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  ( 1 ... ( `  A ) ) )  =  ( `  A
) )
4 1z 9103 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
51nn0zd 9194 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
6 fzfig 10233 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  ->  (
1 ... ( `  A
) )  e.  Fin )
74, 5, 6sylancr 411 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
1 ... ( `  A
) )  e.  Fin )
8 hashen 10561 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... ( `  A ) )  e. 
Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( `  ( 1 ... ( `  A ) ) )  =  ( `  A
)  <->  ( 1 ... ( `  A )
)  ~~  A )
)
97, 8mpancom 419 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  ( 1 ... ( `  A )
) )  =  ( `  A )  <->  ( 1 ... ( `  A
) )  ~~  A
) )
103, 9mpbid 146 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
1 ... ( `  A
) )  ~~  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   class class class wbr 3936   ` cfv 5130  (class class class)co 5781    ~~ cen 6639   Fincfn 6641   1c1 7644   NN0cn0 9000   ZZcz 9077   ...cfz 9820  ♯chash 10552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-ihash 10553
This theorem is referenced by:  fz1f1o  11175
  Copyright terms: Public domain W3C validator