Theorem fldivndvdslt 11932

Description: The floor of an integer divided by a nonzero integer not dividing the first integer is less than the integer divided by the positive integer. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldivndvdslt	|- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> ( |_ ` ( K / L ) ) < ( K / L ) )

Proof of Theorem fldivndvdslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9622	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
2	1	3ad2ant1 1018	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> K e. QQ )
3		zq 9622	. . . . 5 |- ( L e. ZZ -> L e. QQ )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) -> L e. QQ )
5	4	3ad2ant2 1019	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> L e. QQ )
6		simp2r 1024	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> L =/= 0 )
7		qdivcl 9639	. . 3 |- ( ( K e. QQ /\ L e. QQ /\ L =/= 0 ) -> ( K / L ) e. QQ )
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> ( K / L ) e. QQ )
9		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> L e. ZZ )
10		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> L =/= 0 )
11		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> K e. ZZ )
12		dvdsval2 11790	. . . . 5 |- ( ( L e. ZZ /\ L =/= 0 /\ K e. ZZ ) -> ( L || K <-> ( K / L ) e. ZZ ) )
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> ( L || K <-> ( K / L ) e. ZZ ) )
14	13	notbid 667	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> ( -. L || K <-> -. ( K / L ) e. ZZ ) )
15	14	biimp3a 1345	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> -. ( K / L ) e. ZZ )
16		flqltnz 10282	. 2 |- ( ( ( K / L ) e. QQ /\ -. ( K / L ) e. ZZ ) -> ( |_ ` ( K / L ) ) < ( K / L ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 411	1 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> ( |_ ` ( K / L ) ) < ( K / L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4002   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   0cc0 7808   < clt 7988   / cdiv 8625   ZZcz 9249   QQcq 9615   |_cfl 10263   || cdvds 11787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-q 9616  df-rp 9650  df-fl 10265  df-dvds 11788

This theorem is referenced by:  flodddiv4lt  11933