ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fldivndvdslt Unicode version

Theorem fldivndvdslt 11932
Description: The floor of an integer divided by a nonzero integer not dividing the first integer is less than the integer divided by the positive integer. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldivndvdslt  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 )  /\  -.  L  ||  K )  ->  ( |_ `  ( K  /  L ) )  < 
( K  /  L
) )

Proof of Theorem fldivndvdslt
StepHypRef Expression
1 zq 9622 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
213ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 )  /\  -.  L  ||  K )  ->  K  e.  QQ )
3 zq 9622 . . . . 5  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  QQ )
43adantr 276 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 )  ->  L  e.  QQ )
543ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 )  /\  -.  L  ||  K )  ->  L  e.  QQ )
6 simp2r 1024 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 )  /\  -.  L  ||  K )  ->  L  =/=  0 )
7 qdivcl 9639 . . 3  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  L  e.  QQ  /\  L  =/=  0 )  ->  ( K  /  L )  e.  QQ )
82, 5, 6, 7syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 )  /\  -.  L  ||  K )  ->  ( K  /  L )  e.  QQ )
9 simprl 529 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 ) )  ->  L  e.  ZZ )
10 simprr 531 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 ) )  ->  L  =/=  0 )
11 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 ) )  ->  K  e.  ZZ )
12 dvdsval2 11790 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( L  ||  K  <->  ( K  /  L )  e.  ZZ ) )
139, 10, 11, 12syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 ) )  ->  ( L  ||  K  <->  ( K  /  L )  e.  ZZ ) )
1413notbid 667 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 ) )  ->  ( -.  L  ||  K  <->  -.  ( K  /  L )  e.  ZZ ) )
1514biimp3a 1345 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 )  /\  -.  L  ||  K )  ->  -.  ( K  /  L
)  e.  ZZ )
16 flqltnz 10282 . 2  |-  ( ( ( K  /  L
)  e.  QQ  /\  -.  ( K  /  L
)  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( K  /  L
) )  <  ( K  /  L ) )
178, 15, 16syl2anc 411 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  L  =/=  0 )  /\  -.  L  ||  K )  ->  ( |_ `  ( K  /  L ) )  < 
( K  /  L
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    e. wcel 2148    =/= wne 2347   class class class wbr 4002   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   0cc0 7808    < clt 7988    / cdiv 8625   ZZcz 9249   QQcq 9615   |_cfl 10263    || cdvds 11787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-q 9616  df-rp 9650  df-fl 10265  df-dvds 11788
This theorem is referenced by:  flodddiv4lt  11933
  Copyright terms: Public domain W3C validator