Theorem fldivndvdslt 11377

Description: The floor of an integer divided by a nonzero integer not dividing the first integer is less than the integer divided by the positive integer. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldivndvdslt	|- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> ( |_ ` ( K / L ) ) < ( K / L ) )

Proof of Theorem fldivndvdslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9210	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
2	1	3ad2ant1 967	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> K e. QQ )
3		zq 9210	. . . . 5 |- ( L e. ZZ -> L e. QQ )
4	3	adantr 271	. . . 4 |- ( ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) -> L e. QQ )
5	4	3ad2ant2 968	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> L e. QQ )
6		simp2r 973	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> L =/= 0 )
7		qdivcl 9227	. . 3 |- ( ( K e. QQ /\ L e. QQ /\ L =/= 0 ) -> ( K / L ) e. QQ )
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1181	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> ( K / L ) e. QQ )
9		simprl 499	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> L e. ZZ )
10		simprr 500	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> L =/= 0 )
11		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> K e. ZZ )
12		dvdsval2 11241	. . . . 5 |- ( ( L e. ZZ /\ L =/= 0 /\ K e. ZZ ) -> ( L || K <-> ( K / L ) e. ZZ ) )
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1181	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> ( L || K <-> ( K / L ) e. ZZ ) )
14	13	notbid 630	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) ) -> ( -. L || K <-> -. ( K / L ) e. ZZ ) )
15	14	biimp3a 1288	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> -. ( K / L ) e. ZZ )
16		flqltnz 9843	. 2 |- ( ( ( K / L ) e. QQ /\ -. ( K / L ) e. ZZ ) -> ( |_ ` ( K / L ) ) < ( K / L ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 404	1 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ L =/= 0 ) /\ -. L || K ) -> ( |_ ` ( K / L ) ) < ( K / L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 927   e. wcel 1445   =/= wne 2262   class class class wbr 3867   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   0cc0 7447   < clt 7619   / cdiv 8236   ZZcz 8848   QQcq 9203   |_cfl 9824   || cdvds 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826  df-dvds 11239

This theorem is referenced by:  flodddiv4lt  11378