ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fldivndvdslt GIF version

Theorem fldivndvdslt 11645
Description: The floor of an integer divided by a nonzero integer not dividing the first integer is less than the integer divided by the positive integer. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldivndvdslt ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿𝐾) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝐾 / 𝐿))

Proof of Theorem fldivndvdslt
StepHypRef Expression
1 zq 9432 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
213ad2ant1 1002 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿𝐾) → 𝐾 ∈ ℚ)
3 zq 9432 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℚ)
43adantr 274 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) → 𝐿 ∈ ℚ)
543ad2ant2 1003 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿𝐾) → 𝐿 ∈ ℚ)
6 simp2r 1008 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿𝐾) → 𝐿 ≠ 0)
7 qdivcl 9449 . . 3 ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝐿 ∈ ℚ ∧ 𝐿 ≠ 0) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ)
82, 5, 6, 7syl3anc 1216 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿𝐾) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ)
9 simprl 520 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐿 ∈ ℤ)
10 simprr 521 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐿 ≠ 0)
11 simpl 108 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ ℤ)
12 dvdsval2 11509 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿𝐾 ↔ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ))
139, 10, 11, 12syl3anc 1216 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → (𝐿𝐾 ↔ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ))
1413notbid 656 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → (¬ 𝐿𝐾 ↔ ¬ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ))
1514biimp3a 1323 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿𝐾) → ¬ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ)
16 flqltnz 10074 . 2 (((𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ ∧ ¬ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝐾 / 𝐿))
178, 15, 16syl2anc 408 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿𝐾) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝐾 / 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962  wcel 1480  wne 2308   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  0cc0 7634   < clt 7814   / cdiv 8446  cz 9068  cq 9425  cfl 10055  cdvds 11506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-q 9426  df-rp 9456  df-fl 10057  df-dvds 11507
This theorem is referenced by:  flodddiv4lt  11646
  Copyright terms: Public domain W3C validator