ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqltnz Unicode version

Theorem flqltnz 10243
Description: If A is not an integer, then the floor of A is less than A. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqltnz  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A )  <  A
)

Proof of Theorem flqltnz
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  -.  A  e.  ZZ )
2 flqidz 10242 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( |_ `  A
)  =  A  <->  A  e.  ZZ ) )
32adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  A )  =  A  <->  A  e.  ZZ ) )
41, 3mtbird 668 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  -.  ( |_ `  A )  =  A )
54neqned 2347 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A )  =/=  A
)
65necomd 2426 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  A  =/=  ( |_ `  A ) )
7 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  QQ )
87flqcld 10233 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
9 zq 9585 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
11 qapne 9598 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( A #  ( |_
`  A )  <->  A  =/=  ( |_ `  A ) ) )
1210, 11syldan 280 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( A #  ( |_ `  A )  <->  A  =/=  ( |_ `  A ) ) )
136, 12mpbird 166 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  A #  ( |_
`  A ) )
148zred 9334 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
15 qre 9584 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
1615adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
17 flqlelt 10232 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
( |_ `  A
)  <_  A  /\  A  <  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
1817adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  A )  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1918simpld 111 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A )  <_  A
)
2014, 16, 19leltapd 8558 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  A )  < 
A  <->  A #  ( |_ `  A ) ) )
2113, 20mpbird 166 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  -.  A  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A )  <  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   1c1 7775    + caddc 7777    < clt 7954    <_ cle 7955   # cap 8500   ZZcz 9212   QQcq 9578   |_cfl 10224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226
This theorem is referenced by:  fldivndvdslt  11894
  Copyright terms: Public domain W3C validator