Theorem flqltnz 10060

Description: If A is not an integer, then the floor of A is less than A. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqltnz	|- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) < A )

Proof of Theorem flqltnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> -. A e. ZZ )
2		flqidz 10059	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( ( |_ ` A ) = A <-> A e. ZZ ) )
3	2	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = A <-> A e. ZZ ) )
4	1, 3	mtbird 662	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> -. ( |_ ` A ) = A )
5	4	neqned 2315	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) =/= A )
6	5	necomd 2394	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> A =/= ( |_ ` A ) )
7		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> A e. QQ )
8	7	flqcld 10050	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
9		zq 9418	. . . . 5 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
11		qapne 9431	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( A # ( |_ ` A ) <-> A =/= ( |_ ` A ) ) )
12	10, 11	syldan 280	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( A # ( |_ ` A ) <-> A =/= ( |_ ` A ) ) )
13	6, 12	mpbird 166	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> A # ( |_ ` A ) )
14	8	zred 9173	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
15		qre 9417	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
16	15	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> A e. RR )
17		flqlelt 10049	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
18	17	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
19	18	simpld 111	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
20	14, 16, 19	leltapd 8401	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) < A <-> A # ( |_ ` A ) ) )
21	13, 20	mpbird 166	1 |- ( ( A e. QQ /\ -. A e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   # cap 8343   ZZcz 9054   QQcq 9411   |_cfl 10041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-q 9412  df-rp 9442  df-fl 10043

This theorem is referenced by:  fldivndvdslt  11632